Question

如图，已知等边三角形ABC中，点D、E、F分别为AB、AC、BC边的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．
（1）如图①，当点M在BC边上时，求证：MF=NE．
（2）若点M在点B左侧，其他条件不变时，请你在图②中作出相应的图形（不写作法），MF与NE相等的结论是否仍然成立？请直接写出结论，不必证明或说明理由．
（3）请你利用（2）中所作出的图形来判断点F是否在直线NE上？并说明理由．

Answer 1

分析：（1）连接DE，DF，EF．根据三角形的中位线定理得到等边三角形DEF，再根据SAS证明△DMF≌△DNE，从而得到结论；
（2）类似（1）中的证明思路，显然结论仍然成立；
（3）连接DF，NF，EF．根据SAS证明△DBM≌△DFN，从而得到∠DFN=∠DBM=120°，再根据平角定义即可证明．

解答：（1）证明：连接DE，DF，EF．（1分）
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC．
又∵DE，DF，EF为三角形的中位线．
∴DE=DF=EF，∠FDE=60°．
又∠MDF+∠FDN=60°，∠NDE+∠FDN=60°，
∴∠MDF=∠NDE．（3分）
又∵DM=DN，
∴△DMF≌△DNE．（4分）
∴MF=NE．（5分）

（2）画出图形（如答图）．（7分）
MF与NE相等的结论仍然成立．（8分）

（3）点F在直线NE上．（9分）
连接DF，NF，EF．
由（1），知DF=

1

2

AC=

1

2

AB=DB．
又∠BDM+∠BDN=60°，∠NDF+∠BDN=60°，
∴∠BDM=∠NDF，
又∵DM=DN，
∴△DBM≌△DFN．（10分）
∴∠DFN=∠DBM=120°．
又∵∠DFE=60°．
∴∠NFE=∠DFN+∠DFE=180°．（11分）
可得点F在NE上．（12分）

点评：此题综合运用了等边三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质．全等是证明线段相等的常用方法，证明三点共线的方法是利用平角定义．