Question

探究下表中的奥秘，并完成填空：

一元二次方程	两个根	二次三项式因式分解
x2-2x+1=0	x1=1，x2=1	x2-2x+1=（x-1）（x-1）
x2-3x+2=0	x1=1，x2=2	x2-3x+2=（x-1）（x-2）
3x2+x-2=0	x1= 2 3 ，x2=-1	3x2+x-2=3(x- 2 3 )(x+1)
2x2+5x+2=0	x1=- 1 2 ，x2=-2	2x2+5x+2=2(x+ 1 2 )(x+2)
4x2+13x+3=0	x1= - 1 4 ，x2= -3	4x2+13x+3=4（x+ 1 4 ）（x+ 3 ）

将你发现的结论一般化，并写出来：ax²+bx+c=0（a≠0）的两根为x₁，x₂；则ax²+bx+c=

a

（x-

x₁

）（x-

x₂

）．

Answer 1

分析：观察图表中的方程，若一元二次方程ax²+bx+c=0的两根为x₁，x₂，可以发现一般地二次三项式ax²+bx+c，因式分解可以分解a（x-x₁）（x-x₂）的形式．

解答：解：由方程4x²+13x+3=0得，
（x+3）（4x+1）=0，
解得x₁=-3，x₂=-

1

4

．
则4x²+13x+3=4（x+3）（x+

1

4

）．
据此可知，当一元二次方程ax²+bx+c=0的两根为x₁，x₂时，二次三项式ax²+bx+c可分解为ax²+bx+c=a（x-x₁）（x-x₂）．
故答案分别是：-

1

4

，-3；

1

4

，3；a，x₁，x₂．

点评：本题考查了解一元二次方程--因式分解法．观察图表中的方程解法，总结规律，看一下方程的根与系数之间有何关系．