Question

【题目】如图，在菱形ABCD中，M，N分别是边AB，BC的中点，MP⊥AB交边CD于点P，连接NM，NP．

（1）若∠B=60°，这时点P与点C重合，则∠NMP=度；
（2）求证：NM=NP；
（3）当△NPC为等腰三角形时，求∠B的度数．

Answer 1

【答案】
（1）30
（2）

证明：

如图1，延长MN交DC的延长线于点E，

∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥DC，

∴∠BMN=∠E，

∵点N是线段BC的中点，∴BN=CN，

在△MNB和△ENC中，

，

∴△MNB≌△ENC，

∴MN=EN，

即点N是线段ME的中点，

∵MP⊥AB交边CD于点P，

∴MP⊥DE，

∴∠MPE=90°，

∴PN=MN= ME

（3）

如图2

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC，

又∵M，N分别是边AB，BC的中点，

∴MB=NB，

∴∠BMN=∠BNM，

由（2）知：△MNB≌△ENC，

∴∠BMN=∠BNM=∠E=∠CNE，

又∵PN=MN=NE，

∴∠NPE=∠E，

设∠BMN=∠BNM=∠E=∠CNE=∠NPE=x°，

则∠NCP=2x°，∠NPC=x°，

①若PN=PC，则∠PNC=∠NCP=2x°，

在△PNC中，2x+2x+x=180，

解得：x=36，

∴∠B=∠PNC+∠NPC=2x°+x°=36°×3=108°，

②若PC=NC，则∠PNC=∠NPC=x°，

在△PNC中，2x+x+x=180，

解得：x=45，

∴∠B=∠PNC+∠NPC=x°+x°=45°+45°=90°．

③NP=NC时，不可能．

故∠B为108°或90°．

【解析】解：（1）∵MP⊥AB交边CD于点P，∠B=60°，点P与点C重合，
∴∠NPM=30°，∠BMP=90°，
∵N是BC的中点，∴MN=PN，
∴∠NMP=∠NPM=30°；
【考点精析】解答此题的关键在于理解菱形的性质的相关知识，掌握菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形；菱形的面积等于两条对角线长的积的一半．