题目内容

如图所示，已知：在⊙O中，BC=4 $数学公式$ ，CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，∠C=30°．
（1）求图中扇形OAB的面积；
（2）若用扇形OAB围成一个圆锥侧面，求这个圆锥的底面圆的半径．

解：（1）在⊙O中，∵∠C=30°，
∴∠BOD=2∠C=60°，
∵直径CD⊥弦AB，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴∠AOB=2∠BOD=2×60°=120°，（2分）
过点O作OF⊥BC于F．
∵BC=4 $\text{[math]}$ ，
∴BF= $\text{[math]}$ BC= $\text{[math]}$ ×4 $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，
设FO的长为x，则OB=2x，
在Rt△BOF中，由勾股定理得：
4x²-x²=（2 $\text{[math]}$ ）²，
解得x=2，
∴OB=2x=4，（4分）
∴S_扇形OAB=（120π×4^2_）÷360= $\text{[math]}$ ，
或S_扇形OAB=（240π×4²）÷360= $\text{[math]}$ ；（5分）

（2）设圆锥的底面半径为r，
则4πr= $\text{[math]}$ 或4πr= $\text{[math]}$ ，
r= $\text{[math]}$ 或r= $\text{[math]}$ ，（9分）
答：（1）图中扇形OAB的面积为 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ；
（2）所求圆锥的底面半径为r= $\text{[math]}$ 或r= $\text{[math]}$ ．（10分）
分析：（1）过点O作OF⊥BC于F，求得BC的长后再求得BF的长，由勾股定理求得OB的长后即可求面积；
（2）利用扇形的面积公式计算其底面半径即可．
点评：本题考查了圆锥的计算，解题的关键是正确的理解圆锥的侧面展开扇形及弧长之间的关系．