题目内容

【题目】如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC为矩形,点A(0,8),C(6,0).动点P从点B出发,以每秒1个单位长的速度沿射线BC方向匀速运动,设运动时间为t秒.

(1)当t=   s时,以OB、OP为邻边的平行四边形是菱形;

(2)当点P在OB的垂直平分线上时,求t的值;

(3)将△OBP沿直线OP翻折,使点B的对应点D恰好落在x轴上,求t的值.

【答案】(1)16;(2)t=;(3)满足条件的t的值为5s或20s.

【解析】试题分析:(1)先有菱形的性质得出PC=BC=8,进而得出BP=16即可得出结论;

(2)由线段的垂直平分线的性质得出PO=PB=t,再利用勾股定理即可求出结论;

(3)分点P在x轴坐标轴和负半轴上,利用勾股定理即可建立方程求解.

试题解析:(1)如图1,

∵A(0,8),∴OA=8,C(6,0),∴OC=6,

∵四边形OABC是矩形,∴BC=OA=8,

∵以OB、OP为邻边的平行四边形是菱形,∴CP=BC=OA=8,

∴BP=BC+CP=16,t=16÷1=16s,

故答案为16;

(2)如图2,∵点P是OB的垂直平分线上,∴PO=PB=t,∴PC=BC﹣PB=8﹣t,

在Rt△POC中,OC=6,根据勾股定理得,OC2+PC2=OP2,∴62+(8﹣t)2=t2

∴t=

(3)当点P在x轴的坐标轴上时,如图3,

由折叠知,△OBP≌△ODP,∴PD=PB=t,OD=OB==10,∴CD=OD﹣OC=4,

在Rt△PCD中,CD=4,PC=BC﹣PB=8﹣t,PD=t,

根据勾股定理得,PC2+CD2=PD2,∴42+(8﹣t)2=t2,∴t=5,

当点P在x轴负半轴上时,如图4,

由折叠知,PB=PD=t,OD=OB=10,∴CD=OD+OC=16,PC=t﹣8,

在Rt△PCD中,根据勾股定理得,PC2+CD2=PD2,∴(t﹣8)2+162=t2,∴t=20,

即:满足条件的t的值为5s或20s.

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