题目内容
(2013•松北区三模)如图,直线y=-2x+5分别与x、y轴交于点A、B,经过点C(-2,0)的直线y=x+b与y轴交于点D,且直线AB、CD交于点E.
(1)求点E的坐标.
(2)点Q(m,n)为线段AB上一点(与点E不重合),QM∥x轴,交直线CE于点M,设线段QM的长为d,写出d与m的函数关系式(直接写出相应m的取值范围).
(3)在(2)的条件下,点E关于直线QM的对称点为F,当BFC=90°时,求点M的坐标.
(1)求点E的坐标.
(2)点Q(m,n)为线段AB上一点(与点E不重合),QM∥x轴,交直线CE于点M,设线段QM的长为d,写出d与m的函数关系式(直接写出相应m的取值范围).
(3)在(2)的条件下,点E关于直线QM的对称点为F,当BFC=90°时,求点M的坐标.
分析:(1)把C的坐标代入y=x+b即可求得b的值,然后解直线AB与CD的解析式组成的方程组即可求解;
(2)根据M、Q的纵坐标相等,则横坐标的差的绝对值就是MQ的长,可以分M在两直线交点的左侧和右侧两种情况进行讨论求解;
(3)过点F作GH⊥x轴于点H,作BG⊥GH于点G,设F(1,k),根据△BGH∽△FHC,相似三角形的对应边的比相等即可得到一个k的方程,从而求得k的值,得到M的坐标.
(2)根据M、Q的纵坐标相等,则横坐标的差的绝对值就是MQ的长,可以分M在两直线交点的左侧和右侧两种情况进行讨论求解;
(3)过点F作GH⊥x轴于点H,作BG⊥GH于点G,设F(1,k),根据△BGH∽△FHC,相似三角形的对应边的比相等即可得到一个k的方程,从而求得k的值,得到M的坐标.
解答:解:(1)∵直线y=x+b经过点C(-2,0)
∴0=-2+b b=2
由
得
∴E(1,3);
(2)∵点Q(m,n)为线段AB上一点,
∴n=-2m+5
如图1,当点Q在BE上时,即0<m<1
∵QM∥x轴∴点M的纵坐标为n,将y=n代入y=x+2=n
解得:x=n-2
∴M(n-2,n)
QM=n-2-m=-2m+5-2-m=-3m+3(0<m<1);
如图2,当点Q在AE上时,即1<m<2.5
QM=3m-3(1<m<2.5).
(3)如图,过点F作GH⊥x轴于点H,作BG⊥GH于点G.
∵△BGH∽△FHC
∴BG:FH=GF:CH
∵点E、点F关于直线QM的对称,
∴设F(1,k)则BG=1,GF=5-k,FH=k,CH=3
1:k=(5-k):3 即k2-5k+3=0
解得:k=
n=
=
,M(
,
)或M(
,
).
∴0=-2+b b=2
由
|
|
∴E(1,3);
(2)∵点Q(m,n)为线段AB上一点,
∴n=-2m+5
如图1,当点Q在BE上时,即0<m<1
∵QM∥x轴∴点M的纵坐标为n,将y=n代入y=x+2=n
解得:x=n-2
∴M(n-2,n)
QM=n-2-m=-2m+5-2-m=-3m+3(0<m<1);
如图2,当点Q在AE上时,即1<m<2.5
QM=3m-3(1<m<2.5).
(3)如图,过点F作GH⊥x轴于点H,作BG⊥GH于点G.
∵△BGH∽△FHC
∴BG:FH=GF:CH
∵点E、点F关于直线QM的对称,
∴设F(1,k)则BG=1,GF=5-k,FH=k,CH=3
1:k=(5-k):3 即k2-5k+3=0
解得:k=
5±
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2 |
n=
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2 |
11±
| ||
4 |
3-
| ||
4 |
11-
| ||
4 |
3+
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4 |
11+
| ||
4 |
点评:本题是一次函数与相似三角形的性质以及对称的性质的综合应用,正确进行讨论是关键.
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