题目内容

我们知道连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；通过证明可以得到“三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半”类似三角形中位线，我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．如图在梯形ABCD中，AD∥BC，点E，F分别是AB、CD的中点，观察EF的位置，联想三角形中位线的性质，你能发现梯形的中位线有什么性质？证明你的结论．
（2）如果点E分线段AB为 $数学公式$ = $数学公式$ ，EF∥BC交CD于F，AD=3，BC=5，请你利用第（1）的结论求出EF=______（直接填写结果）；
（3）如果点E分线段AB为 $数学公式$ = $数学公式$ ，EF∥BC交CD 于F，AD=a，BC=b，求EF的长．

解：（1）证明：如图1，连接AF并延长交BC的延长线于点G，
∵AD∥BC，
∴∠D=∠GCF，
∵F是CD的中点，
∴DF=FC，
在△ADF与△GCF中，
$\text{[math]}$ ，
∴△ADF≌△GCF（ASA），
∴AF=FG，AD=CG，
∴EF∥BC，且EF= $\text{[math]}$ BG，
∵BG=BC+CG，
∴EF= $\text{[math]}$ （AD+BC），
即梯形的中位线平行于底边并且等于两底和的一半；

（2）如图2，过点A作AH∥CD交EF于点G，交BC于点H，
∵AD∥BC，
∴GF=CH=AD，
∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，

∴EG= $\text{[math]}$ ，
∴EF=EG+GF= $\text{[math]}$ +AD，
∵AD=3，BC=5，
∴EF= $\text{[math]}$ +3=3.5；

（3）如图3，过点A作AH∥CD交EF于点G，交BC于点H，
∵AD∥BC，
∴GF=CH=AD，
∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴EG= $\text{[math]}$ BH，
∴EF=EG+GF= $\text{[math]}$ BH+AD，
∵AD=a，BC=b，
∴EF= $\text{[math]}$ ×（b-a）+a= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）连接AF并延长交BC的延长线于点G，然后利用角边角证明△ADF与△GCF全等，根据全等三角形对应边相等可得DF=CF、AD=CG，然后再根据三角形的中位线定理即可得证明；
（2）过点A作AH∥CD交EF于点G，交BC于点H，根据平行四边形的对边相等可得GF=AD，再根据平行线分线段成比例定理表示出EG的长度，然后相加即可求出EF的长；
（3）与（2）同理可求出EF的长．
点评：本题主要考查了梯形的中位线与平行线分线段成比例定理，通过作辅助线，把梯形的问题转化为三角形的中位线进行解答是解题的关键．

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，EF∥BC交CD于F，AD=3，BC=5，请你利用第（1）的结论求出EF=

3.5

（直接填写结果）；
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