题目内容

如图,在△ABC中,∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1,∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2,依此类推….已知∠A=α,则∠An的度数为
α
2n
α
2n
(用含n、α的代数式表示).
分析:由三角形的外角性质知:∠A=∠ACD-∠ABC,而∠A1=
1
2
(∠ACD-∠ABC),即∠A1=
1
2
∠A,同理可得,∠A2=
1
2
∠A1,依此类推即可.
解答:解:△ABC中,∵∠A=∠ACD-∠ABC,A1是∠ABC角平分与∠ACD的平分线的交点,∠A=α,
∴∠A1=∠A1CD-∠A1BC=
1
2
(∠ACD-∠ABC)=
1
2
∠A;
同理可得,∠A2=
1
2
∠A1=
1
22
∠A,
∠A3=
1
2
∠A2=
1
23
∠A,

依此类推,∠An=
1
2n
∠A,即∠An=
α
2n

故答案为:
α
2n
点评:本题考查的是三角形内角和定理及三角形外角的性质,熟知三角形的内角和是180°是解答此题的关键.
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