Question

【题目】如图1，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB垂足为E，P是BA延长线上一点，且CA平分∠PCD．

（1）判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）连接DO并延长与⊙O相交于点M，若，，求AC的长；

（3）如图（2），在（2）的条件下，连接AM与CD交于N，连接ON，求的值．

Answer 1

【答案】（1）CP是⊙O切线，理由见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）连接OC，根据角平分线的定义得到，再证，根据切线的判定定理解答即可；

（2）由切线性质可证∠OCD=∠P，进而可得∠D=∠OCD=∠P，利用三角函数求出OC长，进而求出CE、OE长，再在中即可求出AC；

（3）由，根据（2）中线段长求出它们的三角函数值，再解三角形即可解答问题，

（1）CP是⊙O切线，

证明：如解图（1），连接OC，

∵AC平分∠PCD，

∴，

又∵，

∴，

又∵OA⊥CD，

∴

∴OC⊥CP，

∴CP是⊙O切线．

（2）解：∵，

∴，

又∵OC=OD，

∴，

∴

∴，

，

设，则，

，

∴，

∴，，，

∴，

∴，

∴，

在中．

（3）如解图（2），过O作，

∴MG=AG，

∵，

∴，

由（2）可得，，

∴，

∴，

又∵OM=OA，

∴∠MAO=∠M，

∴=，

∴，

∴

．