题目内容

阅读材料：如图①，在平面上，给定了半径为r的⊙O，对于任意一点P，在射线OP上取一点Q，使得OP•OQ=r2，这种把点P变为点Q的变换叫做反演变换，点P与点Q叫做互为反演点．
解答问题：如图②，⊙O内、外各有一点A和B，它们的反演点分别为C和D，连接AB、CD，试判断∠B、∠C之间的关系，并说明理由．
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分析：由于A、B的反演点分别为C、D，所以OD•OB=OA•OC=r2，将所得乘积式化为比例式，再加上公共角∠O，即可证得△OAB∽△ODC，由此可得∠B、∠C应该相等．
解答：解：∠B=∠C．（1分）（若不写此结论，后面证得结果，不扣分）
理由如下：
∵点A、点C互为反演点，∴OA•OC=r2，（3分）
同理得OB•OD=r2；（4分）
∴OA•OC=OB•OD，（5分）
即
OA
OD
=
OB
OC
，（6分）
又∵∠O=∠O，
∴△OAB∽△ODC，（7分）
∴∠B=∠C．（7分）
点评：此题主要考查的是相似三角形的判定和性质，读懂材料的含义是解题的关键．
练习册系列答案
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（2013•益阳）阅读材料：如图1，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点P的坐标为（xp，yp）．由xp-x1=x2-xp，得xp=
x1+x2
2
，同理yp=
y1+y2
2
，所以AB的中点坐标为(
x1+x2
2
，
y1+y2
2
)．由勾股定理得AB2=
.
x2-x1
  
.
2+
.
y2-y1
  
.
2，所以A、B两点间的距离公式为AB=
(x2-x1)2+(y2-y1)2
．
注：上述公式对A、B在平面直角坐标系中其它位置也成立．
解答下列问题：
如图2，直线l：y=2x+2与抛物线y=2x2交于A、B两点，P为AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线于点C．
（1）求A、B两点的坐标及C点的坐标；
（2）连结AB、AC，求证△ABC为直角三角形；
（3）将直线l平移到C点时得到直线l′，求两直线l与l′的距离．

阅读材料：如图1，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点P的坐标为（xp，yp）．由xp﹣x1=x2﹣xp，得，同理，所以AB的中点坐标为．由勾股定理得，所以A、B两点间的距离公式为．

注：上述公式对A、B在平面直角坐标系中其它位置也成立．

解答下列问题：

如图2，直线l：y=2x+2与抛物线y=2x2交于A、B两点，P为AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线于点C．

（1）求A、B两点的坐标及C点的坐标；

（2）连结AB、AC，求证△ABC为直角三角形；

（3）将直线l平移到C点时得到直线l′，求两直线l与l′的距离．

 

．阅读材料：如图9，在平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为，

 ，中点的坐标为．由，得，

同理，所以的中点坐标为．

由勾股定理得，所以、两点

间的距离公式为．

注：上述公式对、在平面直角坐标系中其它位置也成立．

   

解答下列问题：

如图10，直线：与抛物线交于、两点，为的中点，

过作轴的垂线交抛物线于点．

（1）求、两点的坐标及点的坐标；

（2）连结，求证为直角三角形；

（3）将直线平移到点时得到直线，求两

直线与的距离．

 


.
阅读材料：如图1，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点P的坐标为（xp，yp）．由xp-x1=x2-xp，得xp=，同理，所以AB的中点坐标为．由勾股定理得AB2=，所以A、B两点间的距离公式为．
注：上述公式对A、B在平面直角坐标系中其它位置也成立．
解答下列问题：
如图2，直线l：y=2x+2与抛物线y=2x2交于A、B两点，P为AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线于点C．
（1）求A、B两点的坐标及C点的坐标；
（2）连结AB、AC，求证△ABC为直角三角形；
（3）将直线l平移到C点时得到直线l′，求两直线l与l′的距离．

阅读材料：

    如图(1)，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为P，求证：S四边形ABCD＝AC·BD．

    证明：∵AC⊥BD　　∴

    ∴S四边形ABCD＝S△ACD＋S△ABC＝AC·PD＋AC·PB＝AC(PD＋PB)＝AC ·BD

解答问题：

(1)上述证明得到的性质可叙述为：    ▲   

(2)已知：如图(2)，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD且相交于点P，AD＝3cm，BC＝7cm，利用上述的性质求梯形的面积．

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