Question

我们知道，对于二次函数y=a（x+m）²+k的图象，可由函数y=ax²的图象进行向左或向右平移一次、再向上或向下移一次平移得到，我们称函数y=ax²为“基本函数”，而称由它平移得到的二次函数y=a（x+m）²+k为“基本函数”y=ax²的“朋友函数”．左右、上下平移的路径称为朋友路径，对应点之间的线段距离称为朋友距离．
由此，我们所学的函数：二次函数y=ax²，函数y=kx和反比例函数都可以作为“基本函数”，并进行向左或向右平移一次、再向上或向下平移一次得到相应的“朋友函数”．
如一次函数y=2x-5是基本函数y=2x的朋友函数，由y=2x-5=2（x-1）-3朋友路径可以是向右平移1个单位，再向下平移3个单位，朋友距离=．
（1）探究一：小明同学经过思考后，为函数y=2x-5又找到了一条朋友路径为由基本函数y=2x先向______，再向下平移7单位，相应的朋友距离为______．
（2）探究二：已知函数y=x²-6x+5，求它的基本函数，朋友路径，和相应的朋友距离．
（3）探究三：为函数和它的基本函数，找到朋友路径，并求相应的朋友距离．

Answer 1

解：（1）y=2（x+1）-7，
∴向左平移1个单位；
朋友距离为=5；

（2）基本函数为y=x²；
∵原抛物线的顶点坐标为（0，0），新抛物线的顶点坐标为（3，-4），
∴朋友路径为先向右平移3个单位，再向下平移4个单位；
相应的朋友距离=5；

（3）函数可化为y=+3，
∴朋友路径为先向左平移1个单位，再向上平移3个单位．相应的朋友距离为=．
分析：（1）把y=2x-5换一种方法拆分，保证最后的常数项为-7，朋友距离等于两次移动距离的平方和的算术平方根；
（2）基本函数只包括二次项的系数，并且二次项的系数不变；找到新抛物线的顶点坐标即可求得朋友路径，朋友距离等于两次移动距离的平方和的算术平方根；
（3）把所给函数进行拆分，同理得到朋友路径与距离．
点评：解决本题的关键是理解所给范例中的朋友函数和朋友距离的概念，并结合其余函数的特点在其余函数中加以运用．