Question

【题目】如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A、B，AB=2，与y轴交于点C，对称轴为直线x=2，对称轴交x轴于点M．

（1）求抛物线的函数解析式；
（2）设P为对称轴上一动点，求△APC周长的最小值；
（3）设D为抛物线上一点，E为对称轴上一点，若以点A、B、D、E为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为 ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：抛物线与x轴交于点A、B，且AB=2，

根据对称性，得AM=MB=1，

∵对称轴为直线x=2，

∴OA=1，OB=3，

∴点A、B的坐标分别为（1，0）、（3，0），

把A、B两点坐标代入y=x2+bx+c，得到 ，

解得 ，

∴抛物线的解析式为：y=x2﹣4x+3

（2）

解：如图1中，连结BC，与对称轴交点则为点P，连接AP、AC．

由线段垂直平分线性质，得AP=BP，

∴CB=BP+CP=AP+CP，

∴AC+AP+CP=AC+BC，

根据“两点之间，线段最短”，得△APC周长的最小，

∵C为（0，3）

∴OC=3，

在Rt△AOC中，有AC= = ，

在Rt△BOC中，有BC= =3 ，

∴△APC的周长的最小值为： +3

（3）（2，﹣1）
【解析】解： （3）如图2中，当点D为抛物线的顶点时，EM=DM时，以点A、B、D、E为顶点的四边形是菱形，此时点D（2，﹣1）

所以答案是D（2，﹣1）．
【考点精析】关于本题考查的二次函数的图象和二次函数的性质，需要了解二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能得出正确答案．