题目内容

【题目】(本题满分12分)已知,直线AP是过正方形ABCD顶点A的任一条直线(不过BCD三点),点B关于直线AP的对称点为E,连结AEBEDE,直线DE交直线AP于点F

1)如图1,直线AP与边BC相交.

∠PAB=20°,则∠ADF= °∠BEF= °

请用等式表示线段ABDFEF之间的数量关系,并说明理由;

2)如图2,直线AP在正方形ABCD的外部,且,求线段AF的长.

【答案】(1①6545;(22

【解析】试题分析:(1利用轴对称的性质以及等腰三角形的性质得出即可;连接BDBF先依据翻折的性质证明△BEF为等腰直角三角形,从而得到△BFD为直角三角形,由勾股定理可得到BFFDBD之间的关系,然后由△ABD为等腰直角三角形,从而得打BDAB之间的关系,故此可得到BFFDAB之间的关系

2)连接BFDB.先依据翻折的性质和等腰三角形的性质证明∠BFD=90°,然后在△BDF中,由勾股定理可求得BD的长,从而求得AB的长,然后在等腰直角三角形EFB中可求得FG=GB=8,然后再Rt△AGB中,由勾股定理可求得AG的长,由AF=FG-AG可求得AG的长.

试题解析:(1翻折的性质可知:∠PAB=∠PAE=20°AE=AB

∴∠AEB=ABE=×180°-40°=70°

∵ABCD为正方形,

∴AB=AD∠BAD=90°

∴AE=AD∠DAE=50°

∴∠ADE=AED=×180°-50°=65°

∴∠BEF=180°-70°-65°=45°

线段ABDFEF之间的数量关系是:BF2+DF2=2AB2

理由:连接BDBF

由翻折的性质可知:BF=FE

∴∠FBE=∠FEB=45°

∴∠BFE=90°

∴BF2+DF2=DB2

BD=AB

∴BD2=2AB2

∴BF2+DF2=2AB2

2)如图2所示:连接BFDB

由翻折的性质可知:AB=AE1=2EF=BF=8EG=GB

∵AD=AB

∴AE=AD

∴∠1=∠3

∴∠2=∠3

∵∠4=∠5

∴∠5+∠3=∠2+∠4=90°

∴△FDB△EFB均为直角三角形,

BD=

AB=BD=10×=10

Rt△EFB中,EF=BF

EB=EF=×8=16

∴GF=EG=BG=8

RtABG中,AG==6

∴AF=FG-AG=8-6=2

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