题目内容
【题目】如图,AB是⊙O的直径,C是半圆O上的一点,AC平分∠DAB,AD CD,垂足为D,AD交⊙O 于E,连接CE.
(1)求证:CD 是⊙O 的切线
(2)若E是弧AC的中点,⊙O 的半径为1,求图中阴影部分的面积。
【答案】
(1)证明:∵AC为∠DAB的平分线,∴∠DAC=∠BAC,∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,∴∠DAC=∠OCA,∴OC∥AD,∵AD⊥CD,∴OC⊥CD,∴CD与圆O相切;
(2)解:连接EB,交OC于F.
∵E为弧AC的中点,
∴弧AE==弧EC,∴AE=EC,
∴∠EAC=∠ECA.
又∵∠EAC=∠OAC,
∴∠ECA=∠OAC,
∴CE∥OA.
又∵OC∥AD,
∴四边形AOCE是平行四边形,
∴CE=OA,AE=OC.
又∵OA=OC=1,
∴四边形AOCE是菱形.
∵AB为直径,得到∠AEB=90°,
∴EB∥CD.
∵CD与⊙O相切,C为切点,
∴OC⊥CD,
∴OC∥AD,
∵点O为AB的中点,
∴OF为△ABE的中位线,
∴OF= AE= ,即CF=DE= ,
在Rt△OBF中,根据勾股定理得:EF=FB=DC= ,则S阴影=S△DEC= .
【解析】(1)要证CD与圆O相切,需证OC垂直于CD,结合已知条件,由AC为角平分线得到一对角相等,再由OA=OC,利用等边对等角得到一对角相等,等量代换得到一对内错角相等,利用内错角相等两直线平行得到OC与AD平行,根据AD垂直于CD,得到OC垂直于CD,即可得证;
(2)根据E为弧AC的中点,得到弧AE=弧EC,利用等弧对等弦得到AE=EC,可得出弓形AE与弓形EC面积相等,阴影部分面积可转化为为直角三角形DEC的面积,求出S△DEC即可.
【题目】新春佳节来临,某公司组织10辆汽车装运苹果、芦柑、香梨三种水果共60吨去外地销售,要求10辆汽车全部装满,每辆汽车只能装运同一种水果,且装运每种水果的车辆都不少于2辆,根据下表提供的信息,解答以下问题:
苹果 | 芦柑 | 香梨 | |
每辆汽车载货量吨 | 7 | 6 | 5 |
每车水果获利元 | 2500 | 3000 | 2000 |
设装运苹果的车辆为x辆,装运芦柑的车辆为y辆,求y与x之间的函数关系式,并直接写出x的取值范围
用w来表示销售获得的利润,那么怎样安排车辆能使此次销售获利最大?并求出w的最大值.
【题目】某童装店有A、B两种型号的童装,其进价与售价如下表所示:
型号 | 进价(元) | 售价(元) |
A型 | 90 | 108 |
B型 | 100 | 130 |
根据市场需要,服装店决定:购进A种服装的数量要比购进B种服装的2倍还多4件,且A种服装购进数量不超过28件,并使这批服装全部销售完毕后的总利润不少于699元.若假设购进B种服装x件,那么:
(1)请写出A、B两种服装全部销售完毕后的总利润y/元用含x/件的式子表示;
(2)请问该服装店有几种满足条件的进货方案?哪种方案获利最多?