题目内容

【题目】如图,AB是⊙O的直径,C是半圆O上的一点,AC平分∠DAB,AD CD,垂足为D,AD交⊙O 于E,连接CE.

(1)求证:CD 是⊙O 的切线
(2)若E是弧AC的中点,⊙O 的半径为1,求图中阴影部分的面积。

【答案】
(1)证明:∵AC为∠DAB的平分线,∴∠DAC=∠BAC,∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,∴∠DAC=∠OCA,∴OC∥AD,∵AD⊥CD,∴OC⊥CD,∴CD与圆O相切;
(2)解:连接EB,交OC于F.

∵E为弧AC的中点,

∴弧AE==弧EC,∴AE=EC,

∴∠EAC=∠ECA.

又∵∠EAC=∠OAC,

∴∠ECA=∠OAC,

∴CE∥OA.

又∵OC∥AD,

∴四边形AOCE是平行四边形,

∴CE=OA,AE=OC.

又∵OA=OC=1,

∴四边形AOCE是菱形.

∵AB为直径,得到∠AEB=90°,

∴EB∥CD.

∵CD与⊙O相切,C为切点,

∴OC⊥CD,

∴OC∥AD,

∵点O为AB的中点,

∴OF为△ABE的中位线,

∴OF= AE= ,即CF=DE=

在Rt△OBF中,根据勾股定理得:EF=FB=DC= ,则S阴影=SDEC=


【解析】(1)要证CD与圆O相切,需证OC垂直于CD,结合已知条件,由AC为角平分线得到一对角相等,再由OA=OC,利用等边对等角得到一对角相等,等量代换得到一对内错角相等,利用内错角相等两直线平行得到OC与AD平行,根据AD垂直于CD,得到OC垂直于CD,即可得证;
(2)根据E为弧AC的中点,得到弧AE=弧EC,利用等弧对等弦得到AE=EC,可得出弓形AE与弓形EC面积相等,阴影部分面积可转化为为直角三角形DEC的面积,求出SDEC即可.

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