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精英家教网如图,将一矩形OABC放在直角坐标系中,O为坐标原点.点A在y轴正半轴上.点E是边AB上的一个动点(不与点A、B重合),过点E的反比例函数y=
kx
(x>0)
的图象与边BC交于点F.
(1)若△OAE、△OCF的面积分别为S1、S2.且S1+S2=2,求k的值;
(2)若OA=2.0C=4.问当点E运动到什么位置时.四边形OAEF的面积最大.其最大值为多少?
分析:(1)设E(x1
k
x1
),F(x2
k
x2
),x1>0,x2>0,根据三角形的面积公式得到S1=S2=
1
2
k,利用S1+S2=2即可求出k;
(2)设E(
k
2
,2)
F(4,
k
4
)
,利用S四边形OAEF=S矩形OABC-S△BEF-S△OCF=-
1
16
(k-4)2
+5,根据二次函数的最值问题即可得到当k=4时,四边形OAEF的面积有最大值,S四边形OAEF=5,此时AE=2.
解答:解:(1)∵点E、F在函数y=
k
x
(x>0)的图象上,
∴设E(x1
k
x1
),F(x2
k
x2
),x1>0,x2>0,
∴S1=
1
2
x1
k
x1
=
k
2
,S2=
1
2
x2
k
x2
=
k
2

∵S1+S2=2,
k
2
+
k
2
=2,
∴k=2;

(2)∵四边形OABC为矩形,OA=2,OC=4,
E(
k
2
,2)
F(4,
k
4
)

∴BE=4-
k
2
,BF=2-
k
4

∴S△BEF=
1
2
(4-
k
2
)(2-
k
4
)=
1
16
k2
-k+4,
∵S△OCF=
1
2
×4×
k
4
=
k
2
,S矩形OABC=2×4=8,
∴S四边形OAEF=S矩形OABC-S△BEF-S△OCF=8-(
1
16
k2-k+4)-
k
2
=-
1
16
k2+
k
2
+4,
=-
1
16
(k-4)2
+5,
∴当k=4时,S四边形OAEF=5,
∴AE=2.
当点E运动到AB的中点时,四边形OAEF的面积最大,最大值是5.
点评:本题考查了反比例函数y=
k
x
(x>0)
k的几何含义和点在双曲线上,点的横纵坐标满足反比例的解析式.也考查了二次的顶点式及其最值问题.
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