Question

如图，已知在△ABC中，∠BAC为直角，AB=AC，D为AC上一点，CE⊥BD于E．
（1）若BD平分∠ABC，求证CE=

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BD；
（2）若D为AC上一动点，∠AED如何变化？若变化，求它的变化范围；若不变，求出它的度数，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）由于DB是∠CBA的平分线，且BE⊥CE，可根据等腰三角形三线合一的特点来作辅助线；延长CE交BA的延长线于F，可先证△BEC≌△BEF，得出CE=EF=

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CF；然后证△BDA≌△CFA，得出BD=CF；由此可得证．
（2）∠AED的度数应该不变；如果过A分别作BD、CF的垂线，设垂足为H、G，则四边形AHEG是矩形；由（1）的全等三角形知：AH=AG（全等三角形对应的高线相等），故四边形AHEG是正方形，而AE正好是正方形的对角线，故∠AED=45°．

解答：解：（1）延长BA、CE相交于点F，先证△BEC≌△BEF（ASA），
∴CE=FE，
∴CE=

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CF，
∵∠BAC是直角，
∴∠BAD=∠CAF=90°，
而∠F+∠FBE=∠FCA+∠F=90°，
∴∠ACF=∠FBE，
又∵AC=AB，
∴△BAD≌△CAF（ASA），
∴BD=CF，即CE=

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BD．

（2）∠AEB不变为45°．
理由如下：
法一：过点A作AH⊥BE垂足为H，作AG⊥CE交CE延长线于G，
先证∠ACF=∠ABD，
得△BAH≌△CAG（AAS）
∴AH=AG，
而AH⊥EB，AG⊥EG，
∴EA平分∠BEF，
∴∠BEA=

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∠BEG=45°．
法二：由（1）证得△BAD≌△CAF（ASA），△BAD的面积=△CAF的面积，
∴BD•AH=CF•AG，而BD=CF，
∴AH=AG，
而AH⊥EB，AG⊥EG，
∴EA平分∠BEF，
∴∠BEA=

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∠BEG=45°．

点评：本题考查的是全等三角形的判定和性质，正确的构建出与所求和已知相关的全等三角形，是解答本题的关键．