题目内容
【题目】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，抛物线与x轴的另一交点为B．
（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
（2）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．
【答案】（1）y=x+3， y=﹣x2﹣2x+3；（2）（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，
） 或（﹣1，
）
【解析】
试题分析：（1）首先由题意根据抛物线的对称性求得点B的坐标，然后利用交点式，求得抛物线的解析式；再利用待定系数法求得直线的解析式；
（2）首先利用勾股定理求得BC，PB，PC的长，然后分别从点B为直角顶点、点C为直角顶点、点P为直角顶点去分析求解即可求得答案．
试题解析：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），抛物线与x轴的另一交点为B，
∴B的坐标为：（﹣3，0），
设抛物线的解析式为：y=a（x﹣1）（x+3），
把C（0，3）代入，﹣3a=3，
解得：a=﹣1，
∴抛物线的解析式为：y=﹣（x﹣1）（x+3）=﹣x2﹣2x+3；
把B（﹣3，0），C（0，3）代入y=mx+n得：
，
解得：
，
∴直线y=mx+n的解析式为：y=x+3；
（2）设P（﹣1，t），
又∵B（﹣3，0），C（0，3），
∴BC2=18，PB2=（﹣1+3）2+t2=4+t2，PC2=（﹣1）2+（t﹣3）2=t2﹣6t+10，
①若点B为直角顶点，则BC2+PB2=PC2，
即：18+4+t2=t2﹣6t+10，解之得：t=﹣2；
②若点C为直角顶点，则BC2+PC2=PB2，
即：18+t2﹣6t+10=4+t2，解之得：t=4，
③若点P为直角顶点，则PB2+PC2=BC2，
即：4+t2+t2﹣6t+10=18，
解之得：t1=
，t2=
；
综上所述P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，） 或（﹣1，
）．
