Question

在直角坐标系内，等腰直角三角形A₁B₁O、A₂B₂B₁、A₃B₃B₂、…、A_nB_nB_n-1按如图所示的方式放置，其中点A₁、A₂、A₃、…、A_n均在一次函数y=kx+b的图象上，点B₁、B₂、…、B_n、均在x轴上．若点B₁的坐标为（1，0），点B₂的坐标为（3，0），点A_n的坐标为________．

Answer 1

（2^n-1-1，2^n-1）
分析：首先，根据等腰直角三角形的性质求得点A₁、A₂的坐标；然后，将点A₁、A₂的坐标代入一次函数解析式，利用待定系数法求得该直线方程是y=x+1；最后，利用等腰直角三角形的性质推知点B_n-1的坐标，然后将其横坐标代入直线方程y=x+1求得相应的y值．
解答：如图，∵点B₁的坐标为（1，0），点B₂的坐标为（3，0），
∴OB₁=1，OB₂=3，则B₁B₂=2．
∵△A₁B₁O是等腰直角三角形，∠A₁OB₁=90°，
∴OA₁=OB₁=1．
∴点A₁的坐标是（0，1）．
同理，在等腰直角△A₂B₂B₁中，∠A₂B₁B₂=90°，A₂B₁=B₁B₂=3，则A₂（1，2）．
∵点A₁、A₂均在一次函数y=kx+b的图象上，
∴，
解得，，
∴该直线方程是y=x+1．
∵点A₃，B₂的横坐标相同，都是3，
∴当x=3时，y=4，即A₃（3，4），则A₃B₂=4，
∴B₃（7，0）．
同理，B₄（15，0），
…
B_n（2ⁿ-1，0），
∴当x=2^n-1-1时，y=2^n-1-1+1=2^n-1，
即点A_n的坐标为（2^n-1-1，2^n-1）．
点评：本题考查了一次函数综合题．其中涉及到的知识点有待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质．解答该题的难点是找出点B_n的坐标的规律．