Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠B=，D为AB边上一点，DE⊥CD于D，交直线AC于E，过点A作AF⊥AB交直线DE于F．
（1）如图（1），求证：△AEF∽△BCD；
（2）如图（2），若CD=DF，求的值；
（3）如图（3），若将题干中的点D的位置改为在BA的延长线上，其他的条件不变，且满足CD=DF，AB=13cm．请直接写出此时AE=______cm．

Answer 1

（1）证明：∵∠ACB=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠CDF=90°，
∴∠1+∠CED=90°，
∴∠2=∠CED，
∵∠CED=∠FEA，
∴∠FEA=∠2，
∵∠3+∠4=90°，
∠4+∠F=90°，
∠F=∠3，
∴△AEF∽△BCD；

（2）解：过C点作AB边垂线，垂足为M．
设BM=a，DM=b，则CM=a•tanB=1.5a．
AM=CM•tanB=2.25a，
∵∠DMC+∠FDA=90°，
∠MDC+∠MCD=90°，
∴∠MCD=∠FDA，
∵CD=DF，∠CMD=∠DAF=90°，
∴△CMD≌△DAF，
所以AD=CM=1.5a，
所以AM=AD+MD=1.5a+b=2.25a，
所以b=0.75a，
∴DF=CD=a，
∴AF=a，BD=a+0.75a，
∴=，

则=；

（3）解：证出△BCD∽△AEF，
∵CD=DF，AB=13cm，
∴AE=．
故答案为：．
分析：（1）由已知条件证明两三角形对应角相等，可以得出△AEF∽△BCD；
（2）过C点作AB边垂线，垂足为M，设BM=a，DM=b，分别求出AD=CM，AM的长，即可得出的值；
（3）利用△BCD∽△DAF，即可求出此时AE的长．
点评：此题主要考查了相似三角形的性质与判定，正确的应用两角对应相等的三角形相似是中考中一个热点问题，同学们应熟练掌握此定理．