题目内容
(2012•新乡模拟)如图,△ABC中AB=6cm,BC=4cm,∠B=60°.动点P,Q分别从A,B两点同时出发,分别沿AB,BC方向匀速移动.它们的速度分别为2cm/s和1cm/s,当点P到达点B时,P,Q两点停止运动.设点P的运动时间为t(s),解答下列问题:
(1)当t为何值时,△PBQ是直角三角形?
(2)设四边形APQC的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;当点P运动到什么位置时,四边形APQC的面积最小,并求出最小面积.
(1)当t为何值时,△PBQ是直角三角形?
(2)设四边形APQC的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;当点P运动到什么位置时,四边形APQC的面积最小,并求出最小面积.
分析:(1)用t表示出AP、BQ、BP,然后分①∠BQP=90°,②∠BPQ=90°两种情况,根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半列式计算即可得解;
(2)过P作PM⊥BC于M,求出PM的长度,然后表示出△PBQ的面积,在过点A作AN⊥BC于N,然后求出AN的长度,再求出△ABC的面积,然后根据S四边形APQC=S△ABC-S△PBQ整理即可得到y与t的函数关系式,再根据二次函数的最值问题求出t的值,即可得到点P得到位置.
(2)过P作PM⊥BC于M,求出PM的长度,然后表示出△PBQ的面积,在过点A作AN⊥BC于N,然后求出AN的长度,再求出△ABC的面积,然后根据S四边形APQC=S△ABC-S△PBQ整理即可得到y与t的函数关系式,再根据二次函数的最值问题求出t的值,即可得到点P得到位置.
解答:解:(1)根据题意,得AP=2tcm,BQ=tcm,
∵AB=6cm,
∴BP=(6-2t) cm,
若△PBQ是直角三角形,则∠BQP=90°或∠BPQ=90°,
①当∠BQP=90°时,∵∠B=60°,
∴∠BPQ=90°-60°=30°,
∴BQ=
BP,
即t=
(6-2t),
解得t=
(秒).
②当∠BPQ=90°时,∵∠B=60°,
∴∠BQP=90°-60°=30°,
∴BP=
BQ,
即6-2t=
t,
解得t=
(秒),
答:当t=
秒或t=
秒时,△PBQ是直角三角形;
(2)过P作PM⊥BC于M,
则Rt△PBM中,sinB=
,
∴PM=PB•sin60°=
(6-2t)=
(3-t),
S△PBQ=
BQ•PM=
t•
(3-t),
过A作AN⊥BC于N,
则Rt△ABN中,sinB=
,
∴AN=AB•sin60°=6×
=3
,
∴S△ABC=
BC•AN=
×4×3
=6
,
∴y=S△ABC-S△PBQ=6
-
t•
(3-t)=
t2-
t+6
,
∴y与x之间的函数关系式为y=
t2-
t+6
,
又∵y=
t2-
t+6
=
(t-
)2+
,
∴当t=
时,即AP=2t=3(cm),点P运动到边AB的中点时,四边形APQC的面积最小,其最小面积为
.
∵AB=6cm,
∴BP=(6-2t) cm,
若△PBQ是直角三角形,则∠BQP=90°或∠BPQ=90°,
①当∠BQP=90°时,∵∠B=60°,
∴∠BPQ=90°-60°=30°,
∴BQ=
1 |
2 |
即t=
1 |
2 |
解得t=
3 |
2 |
②当∠BPQ=90°时,∵∠B=60°,
∴∠BQP=90°-60°=30°,
∴BP=
1 |
2 |
即6-2t=
1 |
2 |
解得t=
12 |
5 |
答:当t=
3 |
2 |
12 |
5 |
(2)过P作PM⊥BC于M,
则Rt△PBM中,sinB=
PM |
PB |
∴PM=PB•sin60°=
| ||
2 |
3 |
S△PBQ=
1 |
2 |
1 |
2 |
3 |
过A作AN⊥BC于N,
则Rt△ABN中,sinB=
AN |
AB |
∴AN=AB•sin60°=6×
| ||
2 |
3 |
∴S△ABC=
1 |
2 |
1 |
2 |
3 |
3 |
∴y=S△ABC-S△PBQ=6
3 |
1 |
2 |
3 |
| ||
2 |
3
| ||
2 |
3 |
∴y与x之间的函数关系式为y=
| ||
2 |
3
| ||
2 |
3 |
又∵y=
| ||
2 |
3
| ||
2 |
3 |
| ||
2 |
3 |
2 |
39
| ||
8 |
∴当t=
3 |
2 |
39
| ||
8 |
点评:本题考查了二次函数综合题型,主要利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质,二次函数的最值问题,解直角三角形,(1)要注意分情况讨论,(2)根据四边形APQC的面积等于两个三角形的面积的差列式是解题的关键,也是常用的方法之一.
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