Question

【题目】如图，点是直线上的一点，将一直角三角板如图摆放，过点作射线平分.

（1）如图1，如果，依题意补全图形，求度数；

（2）当直角三角板绕点顺时针旋转一定的角度得到图2，使得直角边在直线的上方，若，其他条件不变，请你直接用含的代数式表示的度数为 ；

（3）当直角三角板绕点继续顺时针旋转一周，回到图1的位置，在旋转过程中你发现与之间有怎样的数量关系？请直接写出你的发现： .

Answer 1

【答案】（1）补全图形见解析；；（2）；（3）；.

【解析】

（1）根据角平分线的作法作出OE平分∠BOC，先根据平角的定义求出∠BOC，再根据角平分线的定义求出∠COE，再根据直角的定义即可求解；
（2）先根据平角的定义求出∠BOC，再根据角平分线的定义求出∠COE，再根据直角的定义即可求解；
（3）分两种情况：0°≤∠AOC≤180°，0°≤∠DOE≤180°，可求∠AOC与∠DOE之间的数量关系．

（1）补全图形：

解：因为

所以

因为平分，

所以；

由直角三角板，得；

因为；

所以；

（2）∵由∠AOC+∠BOC=180°，∠AOC=α，
∴∠BOC=180°-α；
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=90°-α；
∵直角三角板，
∴∠COD=90°；
∵∠COD=90°，∠COE=90°-α，
∴∠DOE=；

（3）①0°≤∠AOC≤180°时，

∵由∠AOC+∠BOC=180°，

∴∠BOC=180°-∠AOC；
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=90°-∠AOC；
∵直角三角板，
∴∠COD=90°；
∵∠COD=90°，∠COE=90°-∠AOC，
∴∠DOE=∠AOC；

②0°≤∠DOE≤180°时，

∵由∠AOC+∠BOC=180°，

∴∠BOC=180°-∠AOC；
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=∠BOC=90°-∠AOC；
∵直角三角板，
∴∠COD=90°；

∴∠DOE=90°+∠COE =180°-∠AOC；

∴∠DOE=∠AOC（0°≤∠AOC≤180°），∠DOE=180°∠AOC（0°≤∠DOE≤180°）．