题目内容

在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10. 点E在下底边BC上，点F在腰AB上.

（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积；

（2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由；

（3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由.

（1）由已知条件得：梯形周长为12，高4，面积为28。

过点F作FG⊥BC于G  ，过点A作AK⊥BC于K，则可得：FG=×4

∴S△BEF=BE?FG=－x2+x（7≤x≤10）    

（2）存在                                           

由（1）得：－x2+x=14得x1=7       x2=5（不合舍去）

∴存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，此时BE=7

（3）不存在                                        

假设存在，显然是：S△BEF∶SAFECD=1∶2，(BE+BF)∶(AF+AD+DC)=1∶2

则有－x2+x=，整理得：3x2－24x+70=0，△=576－840<0

∴不存在这样的实数x。

即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积。

同时分成1∶2的两部分                          

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