Question

一个工人师傅要将一个正方形ABCD（四个角都是直角，四边都相等，边长为a）的余料，修剪成如四边形ABEF的零件．其中，F是CD的中点．
（1）试用含a的代数式表示AF²+EF²的值；
（2）连接AE，则△AEF是直角三角形吗？为什么？

Answer 1

解：（1）连接AE，
则AB=a，BE=a，
∵∠B=90°
∴AE²=；
∵CE：CF=DF：AD=1：2，
∠C=∠D=90°；
∴△ADF∽△FCE，
∴∠CFE+∠AFD=90°
∴∠AFE=90°
∴AF²+EF²=AE²=；

（2）由（1）中AF²+EF²=AE²，
可知△AEF是直角三角形．
分析：先连接AE，证明△ADF∽△FCE，得到∠AFE=90°，所以AF²+EF²=AE²=．
点评：主要考查了正方形的性质和直角三角形的判定．注意正方形是特殊条件最多的特殊平行四边形．要掌握正方形的性质和勾股定理的逆定理才会灵活运用．