Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=10，在△DCE中，∠DCE=90°，DC=EC=6，点D在线段AC上，点E在线段BC的延长线上．将△DCE绕点C旋转60°得到△D′CE′（点D的对应点为点D′，点E的对应点为点E′），连接AD′、BE′，过点C作CN⊥BE′，垂足为N，直线CN交线段AD′于点M，则MN的长为______．

Answer 1

如下图，过点B作E'C的垂线交其延长线于F点，过点D'作CM的垂线交CM于H点，过A点作CM的垂线交其延长线于G点．
∵∠ACD'=60°，∠ACB=∠D'CE'=90°，
∴∠BCE′=360°-∠ACD'-∠ACB-∠D'CE'=120°．
∴∠BCF=180°-∠BCE'=60°，
BF=sin∠BCF•BC=

3

2

×10=5

3

，
∴S_△BCE'=

1

2

BF•CE'=15

3

．
∵∠ACG+∠BCN=90°，∠BCN+∠CBN=90°，
∴∠ACG=∠CBN
又∵AC=BC，
∴Rt△ACG≌Rt△BCN，
∴AG=CN，CG=BN．
同理△CD′H≌△CE′N，D′H=CN，CH=NE′．
∴M为GH中点，CM=

1

2

（CG+CH）=

1

2

（NB+NE′）=

1

2

BE′．
又∵BF=5

3

，∠BCF=60°，
∴CF=5，FE′=CF+CE′=11，
∴BE'=

BF2+FE′2

=

(5 3 )2+112

=14，
∴CM=

1

2

BE'=7．
又∵S_△BCE'=

1

2

CN•BE'，
∴CN=2S_△BCE′÷BE'=

15 3

7

，
∴MN=CM+CN=7+

15 3

7

．
同理，当△CDE逆时针旋转60°时，MN如下图中右边所示，MN=7-

15 3

7

．