Question

【题目】将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F。

（1）求证：AF+EF=DE；

（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其它条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立；

（3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其它条件不变，如图③，你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由。

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3）成立，证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）利用旋转的性质以及全等三角形的判定得出Rt△BCF≌Rt△BEF，进而得出答案；

（2）利用旋转的性质以及全等三角形的判定得出Rt△BCF≌Rt△BEF，进而得出答案；

（3）利用旋转的性质以及全等三角形的判定得出Rt△BCF≌Rt△BEF，进而得出答案．

试题解析：（1）如图①所示，连接BF，

∵BC=BE，

在Rt△BCF和Rt△BEF中

∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），

∴EF=CF，

∴AF+EF=AC=DE；

（2）如图②所示：

延长DE交AC与点F，连接BF，

在Rt△BCF和Rt△BEF中

∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），

∴EF=CF，

∴AF+EF=AC=DE；

（3）如图③所示：

连接BF，

在Rt△BCF和Rt△BEF中

∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），

∴EF=CF，

∴AF-FC=AC=DE，

∴AF-EF=DE．