题目内容

如图1，在Rt△A′OB′中，∠B′A′0=90°，A′，B′两点的坐标分别为（2，-1）和（0，-5），将A′0B′绕点O逆时针方向旋转90°，使OB’落在x轴正半轴上，得△AOB，点A′的对应点是A，点B’的对应点是B．
（1）写出A，B两点的坐标，并求直线AB的解析式；
（2）如图2，将△A0B沿垂直于x轴的线段CD折叠，（点C在x轴上，且不与点B重合，点D在线段AB上），使点B落在x轴上，对应点为点E，设点C的坐标为（x，0）．
①当x为何值时，线段DE平分△AOB的面积；
②是否存在这样的点使得△AED为直角三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
③设△CDE与△AOB重叠部分的面积为S，直接写出S与点C的横坐标x之间的函数关系式（包括自变量x的取值范围）．

解：（1）A（1，2），B（5，0），
设直线AB的解析式为y=kx+b，则有：
$\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ，
∴直线AB的解析式为y=- $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ．

（2）①当x= $\text{[math]}$ 时，CD=y= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，S_△DEB= $\text{[math]}$ ×5× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ＞3，
∴点E在O的右边．
由题意，得：S_△DEB= $\text{[math]}$ ×2（5-x）× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，x=5+ $\text{[math]}$ （舍去），
∴x=5- $\text{[math]}$ ．

②当∠ADE=90°时，得∠DBE=∠DEB=45°，舍去，
当∠EAD=90°时，点E与点O重合，得x= $\text{[math]}$ ．
当∠AED=90°时，作AH⊥OB于H，证明△AHE∽△DCE，可得HE=1．
∴OE=2．
∴2+2（5-x）=5，x= $\text{[math]}$ ．

③当 $\text{[math]}$ ≤x＜5时，S= $\text{[math]}$ ×（5-x）× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （x-5）²；

当2≤x＜ $\text{[math]}$ 时，设DE、OA交于P，作PM⊥OB与M，设PM=h，则OM= $\text{[math]}$ ，EM=2h，OE=5-2x．
∴5-2x+ $\text{[math]}$ =2h，h= $\text{[math]}$ （5-2x），
∴S= $\text{[math]}$ ×（5-x）× $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ×（5-2x）× $\text{[math]}$ （5-2x）=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据旋转的性质可知：A′的横坐标实际是A点的纵坐标，A′的纵坐标的绝对值实际是A点横坐标，由此可得出A点的坐标，同理可求出B点的坐标．已知了A、B的坐标，可用待定系数法求出直线AB的解析式．
（2）①当E点与O重合时，不难得出△EDB的面积＞ $\text{[math]}$ △AOB的面积，因此当线段DE平分△AOB的面积时，E在O点右侧．可用x表示出BC，CD的值，进而可得求出△BDE的面积，然后根据其面积为△AOB面积的一半可得出一个关于x的方程，据此可求出x的值．
②本题要分情况进行讨论：
一：当∠ADE=90°时，∠EDB=90°，显然不成立；
二：当∠EAD=90°时，E，O重合，那么BE=BO，据此可求出x的值；
三：当∠AED=90°时，可过A作x轴的垂线，通过构建相似三角形来求出x的值．
③本题要分情况进行讨论：
一：当 $\text{[math]}$ ≤x＜5时，E在△AOB内，重合部分的面积就是△CDE的面积；
二：2≤x＜ $\text{[math]}$ 时，E在△AOB外部，重合部分是个不规则的四边形，设DE与OA交于P，那么重合部分的面积可用△CDE的面积减去△EOP的面积来求得．
综上所述，即可求出不同x的取值范围内S，x的函数关系式．
点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定、图形的翻折变换、图形的面积求法等知识及综合应用知识、解决问题的能力．