Question

代数式(

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x+1)5的运算可以转化为五个多项式(

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x+1)•(

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x+1)•(

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x+1)•(

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x+1)•(

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x+1)相乘，按多项式乘法法则，展开合并同类项后其乘积为：a₅x⁵+a₄x⁴+a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀，其中a₅、a₄、a₃、a₂、a₁、a₀为乘积展开式各项的系数，因此，(

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x+1)5=a₅x⁵+a₄x⁴+a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀．
（1）求a₀与a₅的值；
（2）求（a₀+a₂+a₄）²-（a₁+a₃+a₅）²的值．

Answer 1

分析：根据所给信息，和多项式乘以多项式的特点，
（1）令x=0可求出a₀的值．又因为a₅是x⁵的系数，可求出a₅的值．
（2）当x=1时，（

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+1）⁵=a₅+a₄+a₃+a₂+a₁+a₀①
当x=-1时，（-

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+1）⁵=-a₅+a₄-a₃+a₂-a₁+a₀②
再对所求式子变形，把①②代入化简即可．

解答：解：（1）∵（

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x+1）⁵=a₅x⁵+a₄x⁴+a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀，
令x=0，得到a₀=1．
∵a₅是x⁵的系数，
∴a₅=（

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）⁵=4

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．

（2）∵（

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x+1）⁵=a₅x⁵+a₄x⁴+a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀在上述等式中：
当x=1时，（

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+1）⁵=a₅+a₄+a₃+a₂+a₁+a₀，
当x=-1时，（-

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+1）⁵=-a₅+a₄-a₃+a₂-a₁+a₀，
又∵（a₀+a₂+a₄）²-（a₁+a₃+a₅）²，
=（a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅）•（a₀-a₁+a₂-a₃+a₄-a₅），
=（

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+1）⁵（-

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+1）⁵，
=（1-2）⁵，
=-1．

点评：本题考查了多项式乘以多项式，读懂题目信息并利用好信息是解题的关键，利用了特殊值代入法来化简求值使运算更加简便．