题目内容
【题目】如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在边AB,BC上,且AE=AB,将矩形沿直线EF折叠,点B恰好落在AD边上的点P处,连接BP交EF于点Q,对于下列结论:①EF=2BE;②PF=2PE;③FQ=4EQ;④△PBF是等边三角形.其中正确的是( )
A.①② B.②③ C.①③ D.①④
【答案】D.
【解析】
试题解析:∵AE=AB,
∴BE=2AE,
由翻折的性质得,PE=BE,
∴∠APE=30°,
∴∠AEP=90°-30°=60°,
∴∠BEF=∠BEP =∠AEF =60°,
∴∠EFB=90°-60°=30°,
∴EF=2BE,故①正确;
∵BE=PE,
∴EF=2PE,
∵EF>PF,
∴PF<2PE,故②错误;
由翻折可知EF⊥PB,
∴∠EBQ=∠EFB=30°,
∴BE=2EQ,EF=2BE,
∴FQ=3EQ,故③错误;
由翻折的性质,∠EFB=∠EFP=30°,
∴∠BFP=30°+30°=60°,
∵∠PBF=90°-∠EBQ=90°-30°=60°,
∴∠PBF=∠PFB=60°,
∴△PBF是等边三角形,故④正确;
综上所述,结论正确的是①④.
故选D.
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