题目内容
如图,以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O,与斜边AC交于D,E是BC边上的中点,连接DE.
(1)DE与半圆O相切吗?若相切,请给出证明;若不相切,请说明理由;
(2)若AD、AB的长是方程x2-10x+24=0的两个根,求BD的长.
(1)DE与半圆O相切吗?若相切,请给出证明;若不相切,请说明理由;
(2)若AD、AB的长是方程x2-10x+24=0的两个根,求BD的长.
证明:(1)DE与半圆O相切,理由为:
连接OD,BD,如图所示:
∵AB为圆O的直径,∴∠ADB=90°,
在Rt△BDC中,E为BC的中点,
∴DE=BE=
BC,
∴∠EBD=∠EDB,
∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB,
又∠ABC=90°,即∠OBD+∠EBD=90°,
∴∠EDB+∠ODB=90°,即∠ODE=90°,
∴DE为圆O的切线;
(2)方程x2-10x+24=0,
因式分解得:(x-4)(x-6)=0,
解得:x1=4,x2=6,
∵AD、AB的长是方程x2-10x+24=0的两个根,且AB>AD,
∴AD=4,AB=6,
在Rt△ABD中,根据勾股定理得:BD=
=2
.
连接OD,BD,如图所示:
∵AB为圆O的直径,∴∠ADB=90°,
在Rt△BDC中,E为BC的中点,
∴DE=BE=
1 |
2 |
∴∠EBD=∠EDB,
∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB,
又∠ABC=90°,即∠OBD+∠EBD=90°,
∴∠EDB+∠ODB=90°,即∠ODE=90°,
∴DE为圆O的切线;
(2)方程x2-10x+24=0,
因式分解得:(x-4)(x-6)=0,
解得:x1=4,x2=6,
∵AD、AB的长是方程x2-10x+24=0的两个根,且AB>AD,
∴AD=4,AB=6,
在Rt△ABD中,根据勾股定理得:BD=
AB2-AD2 |
5 |
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