Question

【题目】二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为－1，3．与y轴负半轴交于点C，在下面五个结论中：①2a－b＝0；②a＋b＋c＞0；③c＝－3a；④只有当a＝ 时，△ABD是等腰直角三角形；⑤使△ACB为等腰三角形的a值可以有三个．其中正确的结论是（ ）

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】B

【解析】

先根据图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为-1，3确定对称轴由此可判断①；由x=1时y的值可判断②；由A，B的横坐标分别为-1，3可设交点式，由此可判断③；由△ABD是等腰直角三角形可求出D点坐标，于是可求出a值，据此可判断④；分AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC三种情况，分别求出a值，由此可判断⑤．

如图，

① 由题意知对称轴x=,

∴2a=-b, 即2a+b=0,

∵b≠0，

得2a-b≠0，

故①错误；

② ∵a>0, 抛物线与x轴的交点的横坐标为-1,3，

∴当-1<x<3时，y<0,

∴当x=1时，y=a+b+c<0，

故②错误；

③令y=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a, 和原函数比较系数即得c＝－3a，

故③正确；

④ 作DE⊥AB于E，

∵△ADB为等腰直角三角形．
∴DE=AD=BD= =2,

∴点D为（1，-2）
当x=1时，y= a+b+c=a-2a-3a=-4a；
∴-4a=-2

∴a=,

∴只有a=时,三角形ABD为等腰直角三角形.
故④正确；

⑤要使△ACB为等腰三角形，则有AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC三种情况，

当AB=BC=4时，

∵AO=1，△BOC为直角三角形，

又∵OC的长即为|c|，

∴c2=169=7，

∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，

∴c= ，

与2a+b=0、ab+c=0联立组成方程组，解得a=；

同理当AB=AC=4时，

∵AO=1，△AOC为直角三角形，

∴c2=161=15，

∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，

∴c= ，

再与2a+b=0、ab+c=0联立组成方程组, 解得a=；

同理当AC=BC时在△AOC中,AC2=1+c2 ， 在△BOC中，BC2=c2+9，

∵AC=BC，

∴1+c2=c2+9，

此方程无解，

可知满足条件只有两个a值，

故⑤错误.

综上，正确的有2项.

故答案为：B.