Question

【题目】如图，已知一次函数y＝x－2与反比例函数y＝的图象相交于点A(2, n) ，与x轴相交于点B．

（1）求k 的值以及点 B 的坐标；

（2）以AB为边作菱形ABCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，求点D的坐标；

（3）在y轴上是否存在点P，使PA＋PB的值最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）k=6，点B的坐标为（，0）；（2）D（2＋，3）；（3）存在，P（0，）．

【解析】

（1）把A点坐标代入一次函数解析式可求得n，则可求得A点坐标，代入反比例函数解析式则可求得k的值，最后根据y＝0可得点B的坐标
（2）根据两点的距离公式可得AB的长，由菱形的边长相等可得AD＝AB，根据AD与BC平行，可知A与D的纵坐标相等，由此可得D的坐标；
（3）作点B（，0）关于y轴的对称点Q的坐标为（，0），连接AQ交y轴的交点为P，求出AQ解析式即可求解．

解：（1）把点A（2，n）代入一次函数y＝x2，
可得n＝×22＝3；
把点A（2，3）代入反比例函数y＝，
可得k＝xy＝2×3＝6，
∵一次函数y＝x2，与x轴相交于点B，
∴x2＝0，
解得x＝，
∴点B的坐标为（，0）；
（2）∵点A（2，3），B（，0），
∴AB＝，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝，AD∥BC，
∵点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，
∴D（2＋，3）；
（3）存在，

如图，作点B（，0）关于y轴的对称点Q的坐标为（，0），连接AQ交y轴于点P，此时PA＋PB的值最小，
设直线AQ的解析式为：y＝mx＋b，
则，解得：，

∴直线AQ的关系式为，

当x=0时，y=

∴直线AQ与y轴的交点为P（0，）．