题目内容
如图, CD切⊙O于点D,连结OC, 交⊙O于点B,过点B作弦AB⊥OD,点E为垂足,已知⊙O的半径为10,sin∠COD=.
求:(1)弦AB的长;
(2)CD的长;
(3)劣弧AB的长(结果保留三个有效数字, sin53.13o ≈0.8, ≈3.142).
解:(1)∵ AB⊥OD,
∴∠OEB=900
在Rt△OEB中,BE=OB×sin∠COD=10×=8
由垂径定理得AB=2BE=16
所以弦AB的长是16
(2)方法(一)
在Rt△OEB中, OE= =6.
∵CD切⊙O于点D, ∴∠ODC=900, ∴∠OEB=∠ODC.
∵∠BOE=∠COD, ∴△BOE∽△COD,
∴ , ∴
, ∴CD=
.
所以CD的长是
方法(二)由sin∠COD= 可得tan∠COD=
,
在Rt△ODC中,tan∠COD= ,
∴CD=OD•tan∠COD=10×=
(3)连结OA. 在Rt△ODC中, ∵sin53.13o ≈0.8 ∴∠DOC=53.13o
∴∠AOB=106.26o ,
∴劣弧AB的长度 ≈18.5

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