题目内容

如图, CD切⊙O于点D,连结OC, 交⊙O于点B,过点B作弦ABOD,点E为垂足,已知⊙O的半径为10,sin∠COD=.

求:(1)弦AB的长;

(2)CD的长;

(3)劣弧AB的长(结果保留三个有效数字, sin53.13o ≈0.8, ≈3.142).

解:(1)∵ AB⊥OD,

∴∠OEB=900

在Rt△OEB中,BE=OB×sin∠COD=10×=8

由垂径定理得AB=2BE=16

所以弦AB的长是16   

(2)方法(一)

在Rt△OEB中,   OE= =6.

∵CD切⊙O于点D,    ∴∠ODC=900, ∴∠OEB=∠ODC.

∵∠BOE=∠COD,   ∴△BOE∽△COD,

,   ∴ ,     ∴CD= .

所以CD的长是                       

方法(二)由sin∠COD= 可得tan∠COD= ,

在Rt△ODC中,tan∠COD= ,

∴CD=ODtan∠COD=10×=                

(3)连结OA. 在Rt△ODC中, ∵sin53.13o ≈0.8    ∴∠DOC=53.13o

∴∠AOB=106.26o

∴劣弧AB的长度 ≈18.5     

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