题目内容

【题目】等边三角形ABC和等腰三角形ABD按如图所示的位置摆放,∠DAB=90°,AC与BD相交于点E,F为AD上一点,连接EF,CF,CF与BD交于点P,过点D作DG⊥AC于点G,过点B作BH⊥AC于点H. 已知∠ECF=45°.

(1)求证:△CDE≌△DCF;

(2)试判断CD与EF之间的位置关系,并说明理由;

(3)求的值.

【答案】(1)证明见解析;(2)EFCD,理由见解析;(3).

【解析】分析:(1)首先证明AC=AD,推出∠ADC=∠ACD,再根据∠ADB=∠ACF=45°,即可推出∠FCD=∠EDC,由此即可证明;(2)结论:EF∥CD.只要证明∠AFE=∠ADC即可;(3)设AB=BC=AC=AD=a,求出DG,BH即可解决问题;

本题解析:

(1)证明:∵△ABC是等边三角形,

∴AB=AC,

∵AB=AD,∠DAB=90°,

∴AD=AC,∠ADB=∠ACF=45°,

∴∠ADC=∠ACD,

∴∠FCD=∠EDC,

在△CDE和△DCF中,

∴△CDE≌△DCF.

(2)结论:EF∥CD.

理由:∵△CDE≌△DCF,∴DF=CE,∵AD=AC,∴AF=AE,∴∠AEF=∠AFE,

∵∠ADC=∠ACD,∠EAF+2∠AFE=180°,∠DAC+2∠ADC=180°,

∴∠AFE=∠ADC,∴EF∥CD.

(3)设AB=BC=AC=AD=a,

∵DG⊥AC,BH⊥AC,

在Rt△ADG中,∠DAG=∠DAB∠CAB=90°60°=30°,

∴DG=AD=a,

在Rt△ABH中,BH=ABsin60°=

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