Question

【题目】一般来说，依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象分为不同种类的数学思想叫做“分类”的思想；将事物进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究和求解的方法叫做“分类讨论”的方法．请依据分类的思想和分类讨论的方法解决下列问题：

如图，在中，．

若是锐角，请探索在直线上有多少个点，能保证（不包括全等）？

请对进行恰当的分类，直接写出每一类在直线上能保证（不包括全等）的点的个数？

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)见解析.

【解析】

（1）此题应分作三种情况考虑：①点D在线段AB上，若△ACD∽△ABC，已知的等量条件是公共角∠BAC，那么必须满足∠ACD=∠ABC，由于∠ACB＞∠ABC，因此在线段AB上，有一个符合条件的D点；②点D在线段AB的延长线上，此时已知的等量条件仍为公共角∠BAC，由于∠ACD＞∠ACB＞∠ABC，因此这两个三角形不可能相似，故在这种情况下，不存在符合条件的D点；③点D在线段AB的反向延长线上，由于∠BAC是锐角，那么∠BAC＜90°＜∠DAC，根据三角形的外角性质知：∠CAD＞∠BCA＞∠ABC，因此这两个三角形也不可能相似，故此种情况下也不存在符合条件的D点．

（2）可将∠BAC分作三种情况：①∠BAC是锐角，②∠BAC是直角，③∠BAC是钝角；每种情况都可按照（1）题的分类讨论法进行求解．

解：①如图，若点在线段上，由于，可以作一个点满足，使得；

②如图，若点在线段的延长线上，则，与条件矛盾，因此，这样的点不存在；

③如图，若点在线段的反向延长线上，由于是锐角，则，不可能有，因此，这样的点不存在．

综上所述，这样的点有一个．

注：③中用“是钝角，中只可能是钝角，则”说明不存在点亦可．

若为锐角，由知，这样的点有一个（如图）；

若为直角，这样的点有两个（如图）；

若为钝角，这样的点有个（如图）．