题目内容
【题目】如图,正方形ABCD中,点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点,CE、DF交于G,连接AG、HG.下列结论:①CE⊥DF;②AG=AD;③∠CHG=∠DAG;④HG=AD.其中正确的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】D
【解析】
连接AH,由四边形ABCD是正方形与点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点,易证得△BCE≌△CDF与△ADH≌△DCF,根据全等三角形的性质,易证得CE⊥DF与AH⊥DF,根据垂直平分线的性质,即可证得AG=AD,由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,即可证得HG=AD,根据等腰三角形的性质,即可得∠CHG=∠DAG.则问题得解.
解:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠BCD=90°,
∵点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点,
∴BE=CF,
在△BCE与△CDF中,
∴△BCE≌△CDF,(SAS),
∴∠ECB=∠CDF,
∵∠BCE+∠ECD=90°,
∴∠ECD+∠CDF=90°,
∴∠CGD=90°,
∴CE⊥DF,故①正确;
在Rt△CGD中,H是CD边的中点,
∴HG=CD=
AD,故④正确;
连接AH,
同理可得:AH⊥DF,
∵HG=HD=CD,
∴DK=GK,
∴AH垂直平分DG,
∴AG=AD,故②正确;
∴∠DAG=2∠DAH,
同理:△ADH≌△DCF,
∴∠DAH=∠CDF,
∵GH=DH,
∴∠HDG=∠HGD,
∴∠GHC=∠HDG+∠HGD=2∠CDF,
∴∠CHG=∠DAG.故③正确.
故选:D.

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