题目内容

【题目】在△ABC中,AB=AC,∠BAC=2∠DAE=2α.

(1)如图1,若点D关于直线AE的对称点为F,求证:△ADF∽△ABC;

(2)如图2,在(1)的条件下,若α=45°,求证:DE2=BD2+CE2

(3)如图3,若α=45°,点E在BC的延长线上,则等式DE2=BD2+CE2还能成立吗?请说明理由.

【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)成立,理由见解析.

【解析】试题分析:(1)根据轴对称的性质可得∠EAF=∠DAE,AD=AF,再求出∠BAC=∠DAF,然后根据两边对应成比例,夹角相等两三角形相似证明;
(2)根据轴对称的性质可得EF=DE,AF=AD,再求出∠BAD=∠CAF,然后利用“边角边”证明△ABD和△ACF全等,根据全等三角形对应边相等可得CF=BD,全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠B,然后求出∠ECF=90°,最后利用勾股定理证明即可;
(3)作点D关于AE的对称点F,连接EF、CF,根据轴对称的性质可得EF=DE,AF=AD,再根据同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF,然后利用“边角边”证明△ABD和△ACF全等,根据全等三角形对应边相等可得CF=BD,全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠B,然后求出∠ECF=90°,最后利用勾股定理证明即可.

试题解析:

证明:(1)∵点D关于直线AE的对称点为F,

∴∠EAF=∠DAE,AD=AF,

又∵∠BAC=2∠DAE,

∴∠BAC=∠DAF,

∵AB=AC,

=

∴△ADF∽△ABC;

(2)∵点D关于直线AE的对称点为F,

∴EF=DE,AF=AD,

∵α=45°,

∴∠BAD=90°﹣∠CAD,

∠CAF=∠DAE+∠EAF﹣∠CAD=45°+45°﹣∠CAD=90°﹣∠CAD,

∴∠BAD=∠CAF,

在△ABD和△ACF中,

∴△ABD≌△ACF(SAS),

∴CF=BD,∠ACF=∠B,

∵AB=AC,∠BAC=2α,α=45°,

∴△ABC是等腰直角三角形,

∴∠B=∠ACB=45°,

∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°,

在Rt△CEF中,由勾股定理得,EF2=CF2+CE2

所以,DE2=BD2+CE2

(3)DE2=BD2+CE2还能成立.

理由如下:作点D关于AE的对称点F,连接EF、CF,

由轴对称的性质得,EF=DE,AF=AD,

∵α=45°,

∴∠BAD=90°﹣∠CAD,

∠CAF=∠DAE+∠EAF﹣∠CAD=45°+45°﹣∠CAD=90°﹣∠CAD,

∴∠BAD=∠CAF,

在△ABD和△ACF中,

∴△ABD≌△ACF(SAS),

∴CF=BD,∠ACF=∠B,

∵AB=AC,∠BAC=2α,α=45°,

∴△ABC是等腰直角三角形,

∴∠B=∠ACB=45°,

∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°,

在Rt△CEF中,由勾股定理得,EF2=CF2+CE2

所以,DE2=BD2+CE2

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