Question

泰州新星电子科技公司积极应对世界金融危机，及时调整投资方向，瞄准光伏产业，建成了太阳能光伏电池生产线．由于新产品开发初期成本高，且市场占有率不高等因素的影响，产品投产上市一年来，公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程（公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次）．公司累积获得的利润y（万元）与销售时间第x（月）之间的函数关系式（即前x个月的利润总和y与x之间的关系）对应的点都在如图所示的图象上．该图象从左至右，依次是线段OA、曲线AB和曲线BC，其中曲线AB为抛物线的一部分，点A为该抛物线的顶点，曲线BC为另一抛物线的一部分，且点A，B，C的横坐标分别为4，10，12
（1）求该公司累积获得的利润y（万元）与时间第x（月）之间的函数关系式；
（2）直接写出第x个月所获得S（万元）与时间x（月）之间的函数关系式（不需要写出计算过程）；
（3）前12个月中，第几个月该公司所获得的利润最多？最多利润是多少万元？

Answer 1

（1）设直线OA的解析式为y=kx，
∵点O（0，0），A（4，-40）在该直线上，
∴-40=4k，
解得k=-10，
∴y=-10x；
∵点B在抛物线y=-5x²+205x-1230上，
设B（10，m），则m=320．
∴点B的坐标为（10，320）．
∵点A为抛物线的顶点，
∴设曲线AB所在的抛物线的解析式为y=a（x-4）²-40，
∴320=a（10-4）²-40，
解得a=10，
即y=10（x-4）²-40=10x²-80x+120．
∴y=-10x(x=1、2、3、4)
y=10x²-80x+120(x=5、6、7、8、9)
y=-5x²+205x-1230(x=10、11、12)
（2）利用第x+1个月的利润应该是前x+1个月的利润之和减去前x个月的利润之和：
-10(x+1)-[-(10x)](x=1、2、3、4)
10(x+1)²-80(x+1)+120-[10x²-80x+120](x=5、6、7、8、9)
-5(x+1)²+205(x+1)-1230-(-5x²+205x-1230)(x=10、11、12)
即S=-10(x=1、2、3、4)
S=20x-90(x=5、6、7、8、9)
S=-10x+210(x=10、11、12)
（3）由（2）知当x=1，2，3，4时，s的值均为-10，
当x=5，6，7，8，9时，当x=9时s有最大值90，
而在x=10，11，12时，s=-10x+210，
当x=10时，s有最大值110，
因此第9月公司所获利润最大，它是110万元．

（1）根据各段图象所过的特殊点易求其解析式，注意自变量的取值范围，综合起来得结论；
（2）在各段中，s=y_x-y_（x-1）；
（3）根据函数性质分别求出各段中s的最大值比较后得结论．