Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线AC：y＝x+8与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c过点A，C，且与x轴的另一交点为B，又点P是抛物线的对称轴l上一动点．若△PAC周长的最小值为10+2，则抛物线的解析式为_____．

Answer 1

【答案】y＝﹣+8

【解析】

设，由一次函数的解析式求出、点的坐标，连接与对称轴交于点，推理说明在位置是的周长最小为，从而得到的方程求得，再用待定系数求得抛物线的解析式便得．

解：由题意直线AC与x轴的交点为A，

∴当y＝0，则x＝﹣6，

∴点A（﹣6，0）．

同理点C（0，8），

设B（m，0），

连接BC与对称轴l交于点P'，如图所示．

则AP'＝BP'．

当P点位于P'点时，△PAC的周长＝AC+CP'+AP'＝AC+CP'+BP'＝AC+BC，此时周长最小，

周长的最小值为，

，

，

解得m＝10或m＝﹣10（不符舍去），

则点B（10，0），

把A（﹣6，0），b（10，0），C（0，8）代入y＝ax2+bx+c中，得

，

抛物线的解析式为．

故答案为：y＝﹣+8．