Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上一点，PC切⊙O于点C，在射线PA上截取PD=PC，连接CD，并延长交⊙O于点E．
（1）求证：∠ABE=∠BCE；
（2）当点P在AB的延长线上运动时，判断sin∠BCE的值是否随点P位置的变化而变化，提出你的猜想并加以证明．

Answer 1

分析：（1）由等腰三角形的性质及三角形内角与外角的关系即可求出∠ABE=∠BCE；
（2）连接AE，由（1）的结论及圆周角定理可知∠BCE=∠A=45°，故sin∠BCE是定值，与P的位置无关．

解答：证明：（1）∵PD=PC，
∴∠PDC=∠PCD．
∵PC切⊙O于点C，
∴∠PCB=∠E．
∵∠ABE=∠PDC-∠E，∠BCE=∠PCD-∠PCB，
∴∠ABE=∠BCE．

（2）猜想：sin∠BCE的值不随点P位置的变化而变化，
证明：如图，连接AE，
∵∠ABE=∠BCE，∠BCE=∠A，
∴∠ABE=∠A．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°．
∴∠BCE=∠A=45°．
∴sin∠BCE=sin45°=

2

2

．
∴sin∠BCE的值不随点P位置的变化而变化．

点评：此题考查的是圆周角定理及三角形内角与外角的关系，解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形解答．本题第（2）问的基本思路是：猜想sin∠BCE的值不变←∠BCE不变←∠ABE不变←证明∠ABE=45°，是考查圆的有关性质的一道探索性试题．