题目内容

【题目】如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC与BD交于点O,且AC=80,BD=60.动点M、N分别以每秒1个单位的速度从点A、D同时出发,分别沿AOD和DA运动,当点N到达点A时,M、N同时停止运动.设运动时间为t秒.

(1)求菱形ABCD的周长;

(2)记DMN的面积为S,求S关于t的解析式,并求S的最大值;

(3)当t=30秒时,在线段OD的垂直平分线上是否存在点P,使得DPO=DON?若存在,这样的点P有几个?并求出点P到线段OD的距离;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)200;(2)480;(3)2,

【解析】

试题分析:本题考查了相似三角形的判定与性质、菱形、等腰三角形、中垂线、勾股定理、解直角三角形、二次函数极值等知识点,涉及考点较多,有一定的难度.第(2)问中,动点M在线段AO和OD上运动时,是两种不同的情形,需要分类讨论;第(3)问中,满足条件的点有2个,注意不要漏解.

(1)根据勾股定理及菱形的性质,求出菱形的周长;

(2)在动点M、N运动过程中:当0<t40时,如答图1所示,当40<t50时,如答图2所示.分别求出S的关系式,然后利用二次函数的性质求出最大值;

(3)如答图4所示,作ON的垂直平分线,交EF于点I,连接OI,IN.过点N作NGOD,NHEF,垂足分别为G,H.易得DNG∽△DAO,由EF垂直平分OD,得到OE=ED=15,EG=NH=3,再设OI=R,EI=x,根据勾股定理,在RtOEI和RtNIH中,得到关于R和x的 方程组,解得R和x的值,把二者相加就是点P到OD的距离,即PE=PI+IE=R+x,又根据对称性可得,在BD下方还存在一个点P也满足条件,故存在两个点P,到OD的距离也相同,从而问题解决.

试题解析:(1)如图)在菱形ABCD中,OA=AC=40, OD=BD=30,

ACBD,

AD==50

菱形ABCD的周长为200;

(2)(如图)过点M作MHAD于点H.

(如图甲)0<t40时,

sinOAD===

MH=t,

S=DN·MH=t2

(如图乙)当40t50时,

MD=80-t,

sinADO=-

MH=(70-t),

S=DN·MH,

=-t228t

-(t-35)2+490.

S=

当0<t40时,S随t的增大而增大,当t=40时,最大值为480.

当40<t50时,S随t的增大而增大,当t=40时,最大值为480.

综上所述,S的最大值为480

(3)存在2个点P,使得DPO=DON.

(如图)作ON的垂直平分线,交EF于点I,连接OI,IN.

过点N作NGOD,NHEF,垂足分别为G,H.

当t=30时,DN=OD=30,易知DNG∽△DAO,

NG=24,DG=18.

EF垂直平分OD,

OE=ED=15,EG=NH=3,

设OI=R,EI=x,则

在RtOEI中,有R2=152x2……①

在RtNIH中,有R2=32(24-x)2……②

,可得:,

PE=PI+IE=

根据对称性可得,在BD下方还存在一个点P也满足条件,

存在两个点P,到OD的距离都是

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