题目内容
【题目】已知:如图,在ABCD中,∠BAD,∠ADC的平分线AE,DF分别与线段BC相交于点E,F,AE与DF相交于点G.若AD=10,AB=6,AE=4,则DF的长为_____.
【答案】
【解析】
利用相似三角形的性质求出AG,EG,再利用勾股定理求出DG,FG即可解决问题.
解:在平行四边形ABCD中,AD∥BC,BC=AD=10,
∴∠DAE=∠AEB,∠ADF=∠DFC.
∴∠BAE=∠AEB,∠CDF=∠DFC.
∵AB=DC=6,
∴BE=AB=6,FC=CD=6.
∴EC=BC﹣BE=4.
∴EF=FC﹣EC=2.
∵AD∥BC,
∴∠DAG=∠FEG,∠ADG=∠EFG.
∴△AGD∽△EGF,
∴,
∵AE=4,
∴AG=×4=
,EG=
,
在平行四边形ABCD中,AB∥DC,
∴∠BAD+∠ADC=180°.
∵AE,DF分别是∠BAD,∠ADC的平分线,
∴∠DAE=∠BAE=∠BAD,∠ADF=∠CDF=
∠ADC.
∴∠DAE+∠ADF=∠BAD+
∠ADC=90°.
∴∠AGD=90°.
∴DG=,FG=
,
∴DF=DG+FG=8,
故答案为8.

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