题目内容
【题目】已知：如图，在ABCD中，∠BAD，∠ADC的平分线AE，DF分别与线段BC相交于点E，F，AE与DF相交于点G．若AD＝10，AB＝6，AE＝4，则DF的长为_____．
【答案】
【解析】
利用相似三角形的性质求出AG，EG，再利用勾股定理求出DG，FG即可解决问题．
解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝AD＝10，
∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC．
∴∠BAE＝∠AEB，∠CDF＝∠DFC．
∵AB＝DC＝6，
∴BE＝AB＝6，FC＝CD＝6．
∴EC＝BC﹣BE＝4．
∴EF＝FC﹣EC＝2．
∵AD∥BC，
∴∠DAG＝∠FEG，∠ADG＝∠EFG．
∴△AGD∽△EGF，
∴
，
∵AE＝4，
∴AG＝
×4＝
，EG＝
，
在平行四边形ABCD中，AB∥DC，
∴∠BAD+∠ADC＝180°．
∵AE，DF分别是∠BAD，∠ADC的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE＝
∠BAD，∠ADF＝∠CDF＝∠ADC．
∴∠DAE+∠ADF＝∠BAD+∠ADC＝90°．
∴∠AGD＝90°．
∴DG＝
，FG＝
，
∴DF＝DG+FG＝8
，
故答案为8．
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