题目内容

已知：抛物线y=-x2+（m+3）x-m-2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
（1）求m的取值范围；
（2）若m＞0，直线y=kx-1经过点A，与y轴交于点D，且AD•BD=2
13
，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下：若A点在B点的左侧，P为所得的抛物线的顶点，PH⊥AB，H为垂足，连接PA，直线y=kx-1交x轴于M，若以O，D，M为顶点的三角形与与△HPA相似，请直接写出所有符合条件的M点的坐标．
分析：（1）由于抛物线与x轴有两个不同的交点，可令y=0，则所得方程的根的判别式△＞0，可据此求出m的取值范围．
（2）根据已知直线的解析式，可得到D点的坐标；根据抛物线的解析式，可用m表示出A、B的坐标，即可得到AD、BD的长，代入AD×BD=2
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中，即可求得m的值，从而确定抛物线的解析式．
（3）根据（2）所给的条件求出A、B、D、P、H的坐标，再求出△HPA的三边长，最后根据以O，D，M为顶点的三角形与与△HPA相似求出OM的长，即可求出M点的坐标．
解答：解：（1）因为抛物线y=-x2+（m+3）x-m-2与x轴有两个交点，
所以方程x2-（m+3）x+（m+2）=0有两个不等实根，
所以△=[-（m+3）]2-4（m+2）=（m+1）2＞0，
所以m≠-1；

（2）设A（x1，0）、B（x2，0），
则x1，x2是方程x2+（m+1）x-（m+2）=0的两个实根，
∵x2-（m+3）x+（m+2）=（x-1）（x-m-2）=0，
∴x1=1，x2=m+2，
利用AD•BD=2
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，得：2[1+（m+2）2]=52，
解得m=-7和m=3，
∵m＞0，
∴m=3，
所求抛物线的解析式是y=-x2+6x-5；
（3）满足条件的点有四个：如图：

M1（
1
2
，0），M2（2，0），M3（-
1
2
，0），M4（-2，0）．
点评：此题考查了二次函数的综合；根据根的判别式、二次函数解析式的确定、勾股定理、函数图象的交点坐标及图形面积的求法进行解答，难度适中．
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2
，求抛物线的解析式．”解法的部分步骤如下，补全解题过程，并简述步骤①的解题依据，步骤②的解题方法；
解：由（1）知，对称轴与x轴交于点D（
 
，0）
∵抛物线的对称性及AB=2
2
，
∴AD=DB=|xA-xD|=2
2
．
∵点A（xA，0）在抛物线y=（x-h）2+k上，
∴0=（xA-h）2+k①
∵h=xC=xD，将|xA-xD|=
2
代入上式，得到关于m的方程0=(
2
)2+(      )②
（3）将（2）中的条件“AB的长为2
2
”改为“△ABC为等边三角形”，用类似的方法求出此抛物线的解析式．
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A、10B、9C、8D、7
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（1）求平移后的抛物线解析式；
（2）由抛物线对称轴知识我们已经知道：直线x=m，即为过点（m，0）平行于y轴的直线，类似地，直线y=m，即为过点（0，m）平行于x轴的直线、请结合图象回答：当直线y=m与这两条抛物线有且只有四个交点，实数m的取值范围；
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（0，-3）
（0，-3）
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（-2，0）
（-2，0）
；
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