Question

已知矩形OABC的边长OA=4，AB=3，E是OA的中点，分别以所在的直线为x轴，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，直线l经过C、E两点．
（1）求直线l的函数表达式；
（2）如图，将矩形OABC中，将△COE沿直线l折叠后得到△CFE，点F在矩形OABC内部，延长CF交AB于G点．证明：GF=GA；
（3）由上面的条件，求四边形AGFE的面积？

Answer 1

分析：（1）易求E（2，0），C（0，3）．把点E、C的坐标代入直线l的解析式y=kx+b（k≠0），列出关于k、b的方程组，通过解方程组可以求得它们的值；
（2）如图2，连接EG．通过证明Rt△EFG≌Rt△EAG来证明GF=GA；
（3）根据矩形的性质、折叠的性质以及（2）中全等三角形的性质推知BG=AB-AG=3-AG，CG=CF+GF=3+GA，AE=2．则在直角△CBG中，由勾股定理求得AG=

4

3

．
所以有全等三角形的性质得到S_{四边形AGFE}=2S_Rt△EAG=2×

1

2

AE•AG=

8

3

．

解答：（1）解：设直线l的解析式y=kx+b（k≠0）．
∵矩形OABC的边长OA=4，AB=3，E是OA的中点，
∴OC=AB=3，OE=2，
∴E（2，0），C（0，3）．
∴

0=2k+b 3=b

，
解得，

k=- 3 2 b=3

，
∴直线l的解析式y=-

3

2

x+3；

（2）证明：如图2，连接EG．
∵四边形OABC是矩形，
∴∠COA=∠OAB=90°．
又根据折叠是性质得到∠COE=∠CFE=90°，OE=EF，
∴∠EFG=∠EAG=90°．
又∵E是OA的中点，
∴OE=EF，
∴EF=EA，
∴在Rt△EFG和Rt△EAG中，

EF=EA EG=EG

，
∴Rt△EFG≌Rt△EAG（HL），
∴GF=GA；

（3）解：由（2）知，GF=GA，根据折叠的性质知OC=CF=3．
∵BG=AB-AG=3-AG，CG=CF+GF=3+GA，AE=2，
∴在直角△CBG中，由勾股定理得：CG²=BC²+BG²，即（3+AG）²=（3-AG）²+4²，
解得，AG=

4

3

．
∵由（1）知，Rt△EFG≌Rt△EAG，
∴S_Rt△EFG=S_Rt△EAG，
∴S_{四边形AGFE}=2S_Rt△EAG=2×

1

2

AE•AG=2×

1

2

×2×

4

3

=

8

3

，即四边形AGFE的面积是

8

3

．

点评：本题综合考查了待定系数法求一次函数的解析式，折叠的性质，矩形的性质，勾股定理以及全等三角形的判定与性质．考查了同学们综合运用所学知识的能力，是一道综合性较好的题目．