Question

【题目】△ABC 中，AB＝AC，过其中一个顶点的直线可以把这个三角形分成另外两个等腰三角形，则∠BAC（ ）

A. 36°，90°，， 108°B. 36°，72°，，90°

C. 90°，72°，108°，D. 36°，90°，108°，

Answer 1

【答案】A

【解析】

利用三角形内角和定理求解．由于本题中经过等腰三角形顶点的直线没有明确是经过顶角的顶点还是底角的顶点，因此本题要分情况讨论．

①如图1，

当过顶角的顶点的直线把它分成了两个等腰三角形，则AB=AC，AD=CD=BD，
设∠B=x°，
则∠BAD=∠B=x°，∠C=∠B=x°，
∴∠CAD=∠C=x°，
∵∠B+∠BAC+∠C=180°，
∴x+x+x+x=180，
解得x=45，
则顶角是90°；
②如图2，

AB=AC=CD，BD=AD，
设∠C=x°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=x°，
∵BD=AD，
∴∠BAD=∠B=x°，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=2x°，
∵AC=CD，
∴∠CAD=∠ADC=2x°，
∴∠BAC=3x°，
∴x+x+3x=180，x=36°，则顶角是108°．
③如图3，

当过底角的角平分线把它分成了两个等腰三角形，则有AB=AC，BC=BD=AD，
设∠BAC=x°，
∵BD=AD，
∴∠ABD=∠BAC=x°，
∴∠CDB=∠ABD+∠BAC=2x°，
∵BC=BD，
∴∠C=∠CDB=2x°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=2x°，
∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，
∴x+2x+2x=180，
x=36，
则顶角是36°．
④如图4，

当∠BAC=x°，∠ABC=∠ACB=3x°时，也符合，
AD=BD，BC=DC，
∠BAC=∠ABD=x，∠DBC=∠BDC=2x，
则x+3x+3x=180°，
x=()°

则∠BAC=90°或108°或36°或（）°．
故选：A．