Question

【题目】从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线于对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．

（1）如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD为△ABC的完美分割线．
（2）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数．
（3）如图2，△ABC中，AC=2，BC= ，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：如图1中

∵∠A=40°，∠B=60°，

∴∠ACB=80°，

∴△ABC不是等腰三角形，

∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD=∠BCD= ∠ACB=40°，

∴∠ACD=∠A=40°，

∴△ACD为等腰三角形，

∵∠DCB=∠A=40°，∠CBD=∠ABC，

∴△BCD∽△BAC，

∴CD是△ABC的完美分割线．

（2）

解：①当AD=CD时，如图2

，

∠ACD=∠A=45°，

∵△BDC∽△BCA，

∴∠BCD=∠A=48°，

∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°．

②当AD=AC时，如图3中

，

∠ACD=∠ADC= =66°，

∵△BDC∽△BCA，

∴∠BCD=∠A=48°，

∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°．

③当AC=CD时，如图4中

∠ADC=∠A=48°，

∵△BDC∽△BCA，

∴∠BCD=∠A=48°，

∵∠ADC＞∠BCD，矛盾，舍弃．

∴∠ACB=96°或114°．

（3）

证明：由已知AC=AD=2，

∵△BCD∽△BAC，

∴ ，设BD=x，

∴（ ）2=x（x+2），

∵x＞0，

∴x= ﹣1，

∵△BCD∽△BAC，

∴ = ，

∴CD= ×2= ﹣ ．

【解析】（1）根据完美分割线的定义只要证明①△ABC不是等腰三角形，②△ACD是等腰三角形，③△BDC∽△BCA即可．（2）分三种情形讨论即可①如图2，当AD=CD时，②如图3中，当AD=AC时，③如图4中，当AC=CD时，分别求出∠ACB即可．（3）设BD=x，利用△BCD∽△BAC，得 ，列出方程即可解决问题．本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会分类讨论思想，属于中考常考题型．