Question

【题目】如图，的弦与半径垂直，点为垂足，，，点在上，，则的面积为________．

Answer 1

【答案】或

【解析】

设⊙O的半径为x（x＞0），则OD=DC=x，根据垂径定理可知AD=．在Rt△ADO中利用勾股定理即可求出x值，再分点E在外和点E在上两种情况考虑△EOC的面积，当点E在外时，通过角的计算可得出∠COE=90°，利用三角形的面积公式即可求出S△EOC的值；当点E在上时，过点E作EF⊥OC于点F，通过角的计算可得出∠COE=30°，由此可得出EF的长度，利用三角形的面积公式即可求出S△EOC的值．综上即可得出结论．

依照题意画出图形，连接OA．

设⊙O的半径为x（x＞0），则OD=DC=x．

∵OC⊥AB于点D，∴∠ADO=90°，AD=DB=AB=．

在Rt△ADO中，AO=x，OD=x，AD=，∴∠OAD=30°，∠AOD=60°，AD==x=，解得：x=2．

当点E在外时，∠COE=∠AOD+∠EOA=90°，∴S△EOC=EOOC=2；

当点E在上时，过点E作EF⊥OC于点F．

∵∠COE=∠AOD﹣∠EOA=30°，∴EF=OE=1，∴S△EOC=OCEF=1．

综上可知：△EOC的面积为1或2．

故答案为：1或2．