题目内容

【题目】在直角坐标系中,已知点P是反比例函数>0)图象上一个动点,以P为圆心的圆始终与轴相切,设切点为A.

(1)如图1,P运动到与轴相切,设切点为K,试判断四边形OKPA的形状,并说明理由.

(2)如图2,P运动到与轴相交,设交点为B,C.当四边形ABCP是菱形时:

求出点A,B,C的坐标.

在过A,B,C三点的抛物线上是否存在点M,使MBP的面积是菱形ABCP面积的.若存在,试求出所有满足条件的M点的坐标,若不存在,试说明理由.

【答案】(1)、正方形;(2)、A(0,),B(1,0)C(3,0);、(0,),(3,0),(4,),(7,8).

【解析】

试题分析:(1)、根据圆与坐标轴相等得出PAO=OKP=90°,又因为AOK=90°则得出四边形OKPA是矩形,根据OA=OK得出正方形;(2)、、连接PB,设点P的横坐标为x,则纵坐标为,根据四边形为菱形得出PBC为正三角形,得出PB=PA=x,PG=,根据sinPBG的值得出x的值,从而得到PG、PA、BC的值,得出A、B、C三点的坐标;、根据三点坐标求出二次函数的解析式,然后求出直线BP的解析式,列出方程求出点M的坐标.

试题解析:(1)、四边形OKPA是正方形.

∵⊙P分别与两坐标轴相切,PAOA,PKOK.∴∠PAO=OKP=90° ∵∠AOK=90°

∴∠PAO=OKP=AOK=90°四边形OKPA是矩形.又OA=OK,四边形OKPA是正方形.

(2)、、连接PB,设点P的横坐标为x,则其纵坐标为.过点P作PGBC于G.

四边形ABCP为菱形,BC=PA=PB=PC.∴△PBC为等边三角形.

在RtPBG中,PBG=60°,PB=PA=x,PG=.sinPBG=,即

解之得:x=±2(负值舍去).PG=,PA=BC=2.

易知四边形OGPA是矩形,PA=OG=2,BG=CG=1,OB=OGBG=1,OC=OG+GC=3.

A(0,),B(1,0)C(3,0).

设二次函数解析式为:y=ax2+bx+c.据题意得:

解之得:a=,b=-,c=

二次函数关系式为:

、设直线BP的解析式为:y=ux+v,据题意得:

解之得:u=,v=-3直线BP的解析式为:

过点A作直线AMPB,则可得直线AM的解析式为:y=x+

解方程组: 得:

过点C作直线CMPB,则可设直线CM的解析式为:y=x+t.

0=3+t.t=-3直线CM的解析式为:y=x-3

解方程组: 得:

综上可知,满足条件的M的坐标有四个,

分别为:(0,),(3,0),(4,),(7,8).

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