Question

关于x的一元二次方程（k-4）x²-2x-1=0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（2）当k是怎样的正整数方程没有实数根？

Answer 1

解：（1）∵一元二次方程（k-4）x²-2x-1=0有两个不相等的实数根，
∴△=b²-4ac=（-2）²-4（k-4）×（-1）＞0，
∴解得：k＞3，
∵k-4≠0，
∴k≠4，
∴k＞3且k≠4；

（2）若方程没有实数根，则△=b²-4ac＜0，
即：4k-12＜0，
解得：k＜3，
∴当k取1或2时的正整数时方程没有实数根．
分析：（1）若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△=b²-4ac＞0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围即可，在解题时要注意二次项系数不能为0即k≠4；
（2）有根的判别式△=b²-4ac＜0，求出k的取值范围，再找到符合题意k的值即可．
点评：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数．