Question

已知抛物线与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B，已知A点坐标为（4，0）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图，连接AB，M为AB的中点，∠PMQ在AB的同侧以M为中心旋转，且∠PMQ=45°，MP交y轴于点C，MQ交x轴于点D．设AD的长为m（m＞0），BC的长为n，求n和m之间的函数关系式．
（3）若抛物线上有一点F（-k-1，-k²+1），当m，n为何值时，∠PMQ的边过点F？

Answer 1

解：（1）将点A（4，0）代入抛物线解析式可得：0=-×4²+4b+4，
解得：b=1，
故抛物线解析式为y=-x²+x+4；

（2）抛物线y=-=-x²+x+4与x轴的交点为A（4，0），与y轴的交点为B（0，4），
则AB=4，AM=BM=2，
在∠PMQ绕点M在AB同侧旋转过程中，∠MBC=∠DAM=∠PMQ=45°，
在△BCM中，∠BMC+∠BCM+∠MBC=180°，即∠BMC+∠BCM=135°，
在直线AB上，∠BMC+∠PMQ+∠AMD=180°，即∠BMC+∠AMD=135°，
则∠BCM=∠AMD，
故△BCM∽△AMD，
则=，即=，n=，
故n与m之间的函数关系式为n=（m＞0）．

（3）∵F（-k-1，-k²+1）在y=-x²+x+4上，
∴-（-k-1）²+（-k-1）+4=-k²+1，
化简得，k²-4k+3=0，
解得：k₁=1，k₂=3，
即F₁（-2，0）或F₂（-4，-8），
①MF过点M（2，2）和F₁（-2，0），设MF为y=kx+b，
则，
解得：，
故直线MF的解析式为y=x-，
直线MF与x轴的交点为（-2，0），与y轴交点为（0，1），
若MP过点F（-2，0），则n=4-1=3，m=，
若MQ过点F（-2，0），则m=4-（-2）=6，n=，
②MF过点M（2，2）或点F₁（-4，-8），设MF为y=kx+b，
则，
解得：，
故直线MF的解析式为y=x-，
直线MF与x轴的交点为（，0），与y轴交点为（0，-），
若若MP过点F（-4，-8），则n=4-（-）=，m=，
若MQ过点F（-4，-8），则m=4-=，n=，
故当，，或时∠PMQ的边过点F．
分析：（1）将点（4，0）代入抛物线解析式可求出b的值，继而得出抛物线的解析式；
（2）先求出AB、BM的长度，通过证明∠BCM=∠AMD，判断△BCM∽△AMD，利用对应边成比例可求出n和m之间的函数关系式；
（3）将点F的坐标代入抛物线解析式求出k的值，分别讨论MP过点F，和MQ过点F的情况，分别得出m、n的值即可．
点评：本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征的问题，同学们注意培养自己解决综合题的能力，将所学知识融会贯通．