Question

【题目】如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（5，0）两点，与y轴交于点C（0，5）．

（1）求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）D是笫一象限内抛物线上的一个动点（与点C、B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连结BD、CD．设点D的横坐标为m，△BCD的面积为S．
①求S关于m的函数关系式及自变量m的取值范围；
②当m为何值时，S有最大值，并求这个最大值；
③直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，5），

∴设y=a（x+1）（x﹣5），

∴5=a（0+1）（0﹣5），

解得a=﹣1，

∴抛物线的函数关系式为y=﹣（x+1）（x﹣5），

即y=﹣x2+4x+5

（2）

解：①设直线BC的函数关系式为y=kx+b，则

解得 ，

∴y=﹣x+5，

设D（m，﹣m2+4m+5），E（m，﹣m+5），

∴DE=﹣m2+4m+5+m﹣5=﹣m2+5m

∴s= （﹣m2+5m）=﹣ m2+ m （0＜m＜5）；

②s=﹣ m2+ m= ，

∵ ，

∴当m= 时，S有最大值，S最大值= ；

③∵△BDE和△BFE是等高的，

∴它们的面积比=DE：EF，

（ⅰ）当DE：EF=2：3时，

即 ，

解得： （舍），

此时，D（ ）；

（ⅱ）当DE：EF=3：2时，

即 ，

解得： （舍），

此时，D（ ）．

综上所述，点D的坐标为（ ）或（ ）

【解析】（1）由抛物线与x轴的两个交点坐标可设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣5），将点C（0，3）代入抛物线解析式中即可得出关于a一元一次方程，解方程即可求出a的值，从而得出抛物线的解析式；（2）①设直线BC的函数解析式为y=kx+b，结合点B、点C的坐标，利用待定系数法求出直线BC的函数解析式，再由点D横坐标为m得出点D、点E的坐标，结合两点间的距离公式以及三角形的面积公式，即可得出结论；②由①的结论，利用配方法将S关于m的函数关系式进行变形，从而得出结论；③结合图象可知△BDE和△BFE是等高的，由此得出它们的面积比=DE：EF，分两种情况考虑，根据两点间的距离公式即可得出关于m的分式方程，解方程即可得出m的值，将其代入到点D的坐标中即可得出结论．
【考点精析】掌握二次函数的图象和二次函数的性质是解答本题的根本，需要知道二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．